Motivația pentru studiul operații între mulțimi provine din ușurința pe care o aduc la rezolvarea problemelor numerice cotidiene. Vom folosi câteva instrumente grafice, cum ar fi diagrama Venn-Euler, pentru a defini operațiunile principale între două sau mai multe seturiși anume: unirea mulțimilor, intersecția mulțimilor, diferența mulțimilor și mulțimea complementară
unirea mulțimilor
Unirea dintre două sau mai multe seturi va fi un set nou format din elemente care aparțin cel puțin unuia dintre seturile în cauză. În mod formal, uniunea este dată de:
Fie A și B două seturi, uniunea dintre ele este formată din elemente care aparțin mulțimii A sau mulțimii B.
Cu alte cuvinte, doar alătură elementelor din A cu cele din B.
Exemplu:
a) Luați în considerare mulțimile A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} și B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x este un număr par natural} și B {y | y este un număr impar natural}
Unirea tuturor parurilor naturale și a tuturor cotelor naturale are ca rezultat întregul set de numere naturale, așa că trebuie să:
Intersecția seturilor
Intersecția dintre două sau mai multe mulțimi va fi, de asemenea, un nou set format din elemente care aparțin, în același timp, tuturor seturilor implicate. În mod formal avem:
Fie A și B două mulțimi, intersecția dintre ele este formată din elemente care aparțin mulțimii A și mulțimii B. Astfel, trebuie să luăm în considerare doar elementele care se află în ambele seturi.
Exemplu
a) Luați în considerare mulțimile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} și C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Mulțimea care nu are elemente se numește set gol și poate fi reprezentată în două moduri.
Citește și: Setați definiția
diferența de seturi
Diferența dintre două seturi, A și B, este dată de elementele care aparțin lui A și Nu apartin lui B.
În diagrama Venn-Euler, diferența dintre mulțimile A și B este:
Exemplu
Luați în considerare mulțimile A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} și C = {}. Să determinăm următoarele diferențe.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Rețineți că, în setul A - B, luăm inițial setul A și „scoatem” elementele din setul B. În setul A - C, luăm A și „scoatem” golul, adică fără elemente. În cele din urmă, în C - A, luăm setul gol și „scoatem” elementele din A, care, la rândul lor, nu mai erau acolo.
Citește și: Notări importante despre seturi
Seturi complementare
Luați în considerare mulțimile A și B, unde mulțimea A este conținută în mulțimea B, adică fiecare element al lui A este, de asemenea, un element al lui B. Diferența dintre seturi, B - A, se numește complementul lui A față de B. Cu alte cuvinte, complementara este formată din fiecare element care nu aparține mulțimii A în raport cu mulțimea B, în care este conținut.
Exemplu
Luați în considerare mulțimile A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} și B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Complementul lui A în raport cu B este:
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Luați în considerare mulțimile A = {a, b, c, d, e, f} și B = {d, e, f, g, h, i}. Determinați (A - B) U (B - A).
Soluţie
Inițial vom determina mulțimile A - B și B - A și apoi vom efectua uniunea dintre ele.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Prin urmare, (A - B) U (B - A) este:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
intrebarea 2 - (Vunesp) Să presupunem că A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} și A - B = {a, b, c}, atunci:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Soluţie
Alternativa b.
Aranjând elementele din diagrama Venn-Euler, conform declarației, avem:
Prin urmare, mulțimea B = {d, e, f, g, h}.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
