Permutare este unul dintre subiectele discutate în disciplina analiza combinatorie In matematică. Având în mână orice secvență ordonată cu un număr „n” de elemente distincte, orice altă secvență formată din aceleași elemente reordonate „n” se numește permutare.
Astfel, putem spune că dacă A este o permutare a lui B, atunci A și B sunt alcătuite din aceleași elemente, dar ordonate diferit.
De unde vin permutările?
Permutările sunt cazuri izolate de Aranjamente simple. Acestea sunt grupări ordonate ale unui set A de elemente, astfel încât grupurile să aibă un număr mai mic sau egal de elemente decât mulțimea A.
Setul A = {X, Y, Z}, {X, Y} și {Y, X} este un aranjament simplu a elementelor din A luate 2 la 2. Numărul de elemente ale lui A este reprezentat de litera „n”. O număr de ordine, sau numărul clasei, este „k”. Acest număr este numărul de elemente din fiecare matrice simplă (în cazul exemplului, acest număr este 2).
Lista cu toate aranjamentele simple ale celor trei elemente ale A luate de la 3 la 3 este următoarea:
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX și YXZ
Această listă este tocmai cazul particular al aranjamentelor care primesc numele de permutare.
Calculul aranjamentelor simple
Numărul de aranjamente simple ale unui set A, care are Nu elemente luate k Oh, poate fi calculat prin următoarea formulă:
THEnu, ok = Nu!
(n - k)!
Definiția permutației
Fie A un set cu Nu elemente distincte. Tu aranjamente simple dintre aceste elemente luate de la n la n se numesc permutări simple din A. Astfel, pentru ca aceasta să fie o permutare, este necesar ca numărul comenzii k să fie egal cu numărul Nu de elemente ale lui A. Următorul calcul rezultă din aceasta:
Luând formula utilizată pentru tablourile simple și numărul de ordine k = n, vom avea:
Aceasta este formula utilizată pentru a calcula numărul permutărilor elementelor mulțimii A, de obicei notate cu PNu. Curând:
Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)
PNu = Anu Nu = n!
PNu = n!
Exemplu
Calculați numărul permutărilor literelor cuvântului IUBIRE.
Soluţie:
Rețineți că cuvântul IUBIRE are 4 elemente distincte. Pentru a calcula numărul permutărilor acestui cuvânt, vom folosi formula de mai sus:
PNu = n!
P4 = 4!
P4 = 4·3·2·1
P4 = 24
Prin urmare, este posibil să se formeze 24 de permutări diferite ale literelor cuvântului IUBIRE. Permutările de cuvinte se mai numesc anagramele.
Permutații cu elemente repetate
Orice set poate avea elemente repetate. La permutări acel set ar trebui să ia în considerare repetarea acestor elemente, deoarece ordinea în care apar nu contează, spre deosebire de ordinea celorlalte elemente ale mulțimii. Dacă schimbăm doar cele două „A” de loc din cuvântul AMAR, vom primi același cuvânt. La fel cuvintele nu sunt permutări, prin urmare, această repetare trebuie scăzută în formula permutărilor.
Pentru a scădea toate posibilele repetări ale elementelor într-unul permutare cu elemente repetate, trebuie să facem următoarele:
Fie A un set cu Nu elemente, dintre care k elementele se repetă. Formula pentru calcularea permutațiilor lui A este:
PNuk = Nu!
k!
Dacă este setat A, cu Nu elemente, posedă k repetări ale unui element și j repetări ale alteia, calculul se va întâmpla după cum urmează:
PNuhaha = Nu!
k! · j!
Dacă un set A, cu Nu elemente, are k repetări ale unui element, j repetări ale altuia,..., m repetări ale alteia, formula ia următoarea formă:
PNuk, j,..., m = Nu!
k! · j! ·... · M!
Exemplu
Calculați numărul de anagrame ale cuvântului ANTONIA.
Soluţie:
Pentru a rezolva exemplul, calculați doar permutări cu elemente repetate a cuvântului ANTONIA. Atât litera A, cât și litera N se repetă de 2 ori. Ceas:
P72,2 = 7!
2!·2!
P72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
P72,2 = 5040
4
P72,2 = 1260
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică