Ecuațiile trigonometrice sunt egalități care implică funcții trigonometrice ale arcurilor necunoscute. Rezolvarea acestor ecuații este un proces unic care utilizează tehnici de reducere la ecuații mai simple. Să acoperim conceptele și definițiile ecuațiilor în formă cosx = a.
Ecuațiile trigonometrice sub forma cosx = α au soluții în intervalul –1 ≤ x ≤ 1. Determinarea valorilor lui x care satisfac acest tip de ecuație va respecta următoarea proprietate: Dacă două arcuri au cosinusuri egale, atunci ele sunt congruente sau complementare..
Fie x = α o soluție a ecuației cos x = α. Celelalte soluții posibile sunt arcele congruente arcului α sau arcului - α (sau arcului 2π - α). Deci: cos x = cos α. Rețineți reprezentarea în ciclul trigonometric:
Am concluzionat că:
x = α + 2kπ, cu k Є Z sau x = - α + 2kπ, cu k Є Z
Exemplul 1
Rezolvați ecuația: cos x = √2 / 2.
Din tabelul raporturilor trigonometrice, que2 / 2 corespunde unui unghi de 45º. Atunci:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Astfel, ecuația cosx = √2 / 2 are ca soluție toate arcele congruente arcului π / 4 sau –π / 4 sau chiar 2π - π / 4 = 7π / 4. Rețineți ilustrația:
Concluzionăm că soluțiile posibile ale ecuației cos x = √2 / 2 sunt:
x = π / 4 + 2kπ, cu k Є Z sau x = - π / 4 + 2kπ, cu k Є Z
Exemplul 2
Rezolvați ecuația: cos 3x = cos x
Când arcurile 3x și x sunt congruente:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Când arcurile 3x și x sunt complementare:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Soluția ecuației cos 3x = cos x este {x Є R / x = kπ sau x = kπ / 2, cu k Є Z}.
de Mark Noah
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm
