Spre deosebire de figurile geometrice formate de el, Scor nu are nicio definiție. Aceasta înseamnă că, în Geometrie, un punct este un obiect nedefinit utilizat în definirea altor obiecte. Liniile, de exemplu, sunt seturi de puncte. Deși arată bine definite, liniile nu au nici o definiție, deoarece orice set care conține două sau mai multe puncte este considerat drept.
Pe de altă parte, în Geometria Analitică, punctul este luat ca locație. Orice locație poate fi reprezentată printr-un punct și, în plus, „adresa” acelui punct este dată prin intermediul coordonatelor.
Cu toate acestea, în geometria analitică, punctele sunt capabile să indice doar locații. Sunt necesare alte obiecte pentru a indica traiectoria, direcția, direcția și intensitatea. În cazul acestor trei, obiectul ales pentru a le reprezenta în plan cartezian este vector.
→ Ce este un vector?
Vectori, prin urmare, sunt obiecte care indică direcția, simțul și intensitatea. Ele sunt de obicei reprezentate de săgeți, care încep de la origine și se folosesc coordonatele ultimului lor punct.
În imaginea de mai sus, vectorii sunt reprezentați în acest fel, adică săgeți ale căror coordonate corespund punctului lor final. Vectorul u are coordonate (2,2) și vectorul v are coordonate (4,2). De asemenea, săgeata este utilizată pentru a indica direcția și direcția, iar mărimea ei indică intensitatea.
→ Multiplicarea vectorială cu un număr
Având în vedere vectorul v = (a, b), produsul numărului real k de v este dat de expresia:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Cu alte cuvinte, pentru a înmulți un număr real cu un vector, trebuie să multiplicați numărul real cu fiecare dintre coordonatele sale.
Geometric, înmulțirea unui vector cu un număr real crește dimensiunea vectorului liniar:
Rețineți că, în exemplul de mai sus, vectorul u are coordonate (2.2), iar vectorul u · k are coordonate (4.4). Rezolvând ecuația (4.4) = k (2.2), se poate concluziona că k = 2.
→ Adăugarea de vectori
Având în vedere doi vectori u = (a, b) și v = (c, d), suma dintre ei va fi obținută prin expresia:
u + v = (a + c, b + d)
Cu alte cuvinte, trebuie doar să adăugați coordonatele corespunzătoare fiecărui vector. Această operațiune poate fi extinsă la suma de 3 sau mai mulți vectori cu 3 sau mai multe dimensiuni.
Geometric, pornind de la punctul final al vectorului u, un vector v 'este trasat paralel cu vectorul v. Pornind de la vectorul v, un vector u 'este trasat paralel cu vectorul u. Acești patru vectori formează un paralelogram. Vectorul u + v este următoarea diagonală a acestui paralelogram:
Pentru a scădea vectori, considerați scăderea ca suma unui vector și opusul altuia. De exemplu, pentru a scădea vectorul v din vectorul u, scrieți: u - v = u + (-v). Vectorul -v este vectorul v, dar cu semnele de coordonate inversate.
Privind cu atenție, operațiile „înmulțesc un vector cu un număr” și „adăugăm vectori” folosiți operațiile de multiplicare și adunare pe numere reale, dar pe fiecare componentă a vector. Prin urmare, pentru vectori, toate proprietățile adunării și multiplicării numerelor reale sunt valabile, și anume:
Având în vedere vectorii u, v și w și numerele reale k și l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) există un vector 0 = (0,0) astfel încât v + 0 = v
iv) Există un vector -v astfel încât v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Standard al unui vector
Norma unui vector este echivalentul mărimii unui număr real, adică distanța dintre un vector și punctul (0,0) sau, în funcție de cadrul de referință, lungimea vectorului.
Norma vectorului v = (a, b) este notată cu || v || și poate fi calculat folosind expresia:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Produs intern
Produsul interior este comparabil cu produsul dintre vectori. Rețineți că produsul menționat mai sus este produsul dintre un vector și un număr real. Acum, „produsul” în cauză este între doi vectori. Cu toate acestea, nu trebuie spus „produs între doi vectori”, ci mai degrabă „produs intern între doi vectori”. Produsul interior dintre vectorii v = (a, b) și u = (c, d) este notat cu
De asemenea, este obișnuit să utilizați următoarea notație:
Rețineți că, folosind norma vectorului v = (a, b), putem raporta norma și produsul punct.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm
