Rezolva sistemeliniar este o sarcină foarte recurentă pentru studii în domeniile științelor naturii și matematicii. Căutarea valorilor necunoscute a dus la dezvoltarea metodelor de rezolvare a sistemelor liniare, cum ar fi adăugarea, egalitatea și metoda de substituție pentru sistemele care au două ecuații și două necunoscute, și regula și scalarea lui Crammer, care rezolvă sisteme liniare de două ecuații, dar care sunt mai convenabile pentru sistemele cu mai multe ecuații. Un sistem liniar este un set de două sau mai multe ecuații cu una sau mai multe necunoscute.
Citește și:Care este relația dintre matrice și sisteme liniare?
ecuație liniară
Lucrul cu ecuații există datorită trebuie să găsesc valori necunoscute necunoscute. O numim ecuație atunci când avem o expresie algebrică cu egalitate și este clasificată ca liniară atunci când cel mai mare exponent al necunoscutelor sale este 1, așa cum se arată în următoarele exemple:
2x + y = 7 → ecuație liniară cu două necunoscute
a + 4 = -3 → ecuație liniară cu o necunoscută
În general vorbind, o ecuație liniară poate fi descrisă prin:
1X1 +2X2 + a3x3... + aNuXNu = c
Știm ca sistem de ecuații atunci când există mai multe ecuații liniare. Vom începe cu sisteme liniare de două necunoscute.
Rezolvarea sistemelor liniare
Sisteme liniare cu două ecuații de gradul 1 și două necunoscute
Pentru a rezolva un sistem de două ecuații și două necunoscute, există mai multe metode, cele mai cunoscute trei sunt:
- metoda de comparare
- metoda adaosului
- metoda substituției
Oricare dintre cele trei poate rezolva un sistem liniar de două ecuații și două necunoscute. Aceste metode nu sunt la fel de eficiente pentru sistemele cu mai multe ecuații, deoarece există și alte metode specifice pentru a le rezolva.
Metoda de înlocuire
Metoda de înlocuire constă din izolează una dintre necunoscute într-una dintre ecuații și efectuați înlocuirea în cealaltă ecuație.
Exemplu:
Primul pas: izolează una dintre necunoscute.
Numim I prima ecuație și II a doua ecuație. Analizând cele două, hai alege necunoscutul cel mai ușor de izolat. Rețineți că în ecuaţie I → x + 2y = 5, x nu are coeficient, ceea ce face mai ușor izolarea, așa că vom rescrie ecuația care îmi place:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2y
Al doilea pas: înlocuiți I în II.
Acum că avem ecuația I cu x numai, în ecuația II, putem înlocui x cu 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Înlocuirea x cu 5 - 2y:
3 (5 - 2y) - 5y = 4
Acum că ecuația are o singură necunoscută, este posibil să o rezolvăm pentru a găsi valoarea lui y.
Cunoscând valoarea lui y, vom găsi valoarea lui x înlocuind valoarea lui y în ecuația I.
I → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Deci soluția sistemului este S = {3,1}.
Metoda de comparare
Metoda de comparație constă din izolează o necunoscută în cele două ecuații și egalizează aceste valori.
Exemplu:
Primul pas: să fiu eu prima ecuație și II a doua, să izolăm una dintre necunoscute în I și II. Alegând să izolăm x-ul necunoscut, trebuie să:
Al doilea pas: echivalează cele două ecuații noi, deoarece x = x.
Pasul 3: înlocuiți valoarea lui y cu -2 într-una din ecuații.
x = -4 - 3y
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Deci soluția acestui sistem este mulțimea S = {2, -2}.
Vezi și: Care sunt diferențele dintre funcție și ecuație?
metoda adaosului
Metoda adunării constă în efectuarea înmulțirii tuturor termenilor uneia dintre ecuații, în așa fel încât, când adăugând ecuația I la ecuația II, una dintre necunoscutele sale este egală cu zero.
Exemplu:
Primul pas: înmulțiți una dintre ecuații astfel încât coeficienții să fie opuși.
Rețineți că, dacă înmulțim ecuația II cu 2, avem 4y în ecuația II și -4y în ecuația I și că cu adăugăm I + II, avem 0y, deci să înmulțim toți termenii din ecuația II cu 2, astfel încât acesta întâmpla.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
Al doilea pas: efectuați suma I + 2 · II.
Pasul 3: înlocuiți valoarea lui x = 3 într-una dintre ecuații.
Sisteme liniare cu trei ecuații de gradul 1 și trei necunoscute
Când sistemul are trei necunoscute, adoptăm alte metode de rezolvare. Toate aceste metode leagă coeficienții de matrici, iar cele mai utilizate metode sunt regula sau scalarea lui Crammer. Pentru rezoluția în ambele metode, este necesară reprezentarea matricială a sistemului, chiar și sistemul 2x2 poate fi reprezentat prin intermediul unei matrice. Există două reprezentări posibile, matricea completă și matricea incompletă:
Exemplu:
Sistemul
Poate fi reprezentat de matrice completă
Si pentru matrice incompletă
Regula lui Crammer
Pentru a găsi soluții pentru un sistem 3x3, cu necunoscute x, y și z, folosind Regula lui Crammer, este necesar să se calculeze determinantul matricei incomplete și variațiile acesteia. Deci trebuie să:
D → determinant al matricei incomplete a sistemului.
DX → determinant al matricei incomplete a sistemului, înlocuind coloana lui x cu coloana de termeni independenți.
Dy → determinant al matricei incomplete a sistemului, înlocuind coloana lui y cu coloana de termeni independenți.
Dz → determinant al matricei incomplete a sistemului, înlocuind coloana lui z cu coloana de termeni independenți.
Deci, pentru a găsi valoarea necunoscutelor dvs., trebuie mai întâi să calculăm determinant D, DX, Dy asociat cu sistemul.
Exemplu:
Primul pas: calculează D.
Al doilea pas: calculează DX.
Pasul 3: atunci putem găsi valoarea lui x, deoarece:
Al 4-lea pas: calculați Dy.
Pasul 5: atunci putem calcula valoarea lui y:
Pasul 6: acum că cunoaștem valoarea lui x și y, în ambele linii putem găsi valoarea lui z substituind valoarea lui x și y și izolând z. O altă opțiune este să calculați Dz.
Înlocuind x = 0 și y = 2 în prima ecuație:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Prin urmare, soluția sistemului este oferta (0,2, -1).
De asemenea, accesați: Rezolvarea problemelor prin sisteme de ecuații
scalare
O altă metodă de rezolvare a sistemelor liniare este scalarea, în care folosim doar matricea completă și operațiile dintre linii pentru a le izola necunoscutele. Să redimensionăm sistemul de mai jos.
Primul pas: scrie matricea completă care reprezintă sistemul.
fii L1, L2 și eu3 respectiv liniile 1, 2 și 3 ale matricei, vom efectua operații între L1 și eu2 și eu1 și eu3, astfel încât rezultatul face ca termenii din prima coloană din al doilea și al treilea rând să fie egali cu zero.
Analizând a doua linie a matricei, să o înlocuim cu rezultatul lui L2 → -2 · L1 + L2, pentru a elimina zero termenul a21.
21 = -2 · 1 + 2 = 0
22 = -2 · 2 + 1 = -3
23 = -2 · (-3) + 1 = 7
24 =-2 · 10 + 3 = -17
Deci L2 va fi 0 -3 7 -17.
Analizând al treilea rând al matricei, să o înlocuim cu rezultatul L3 → 3L1 + L2, pentru a reseta termenul la31.
31 = 3 · 1 – 3 = 0
32 = 3 · 2 + 2 = 8
33 = 3 · (-3) +1 = -8
34 = 3 · 10 – 6 = 24
Deci L3 va fi 0 8 -8 24.
Rețineți că toate sunt divizibile cu 8, deci linia L3 păstrați-l simplu, să îl împărțim la 8.
L3 → L3 : 8 va fi: 0 1-1 3.
Deci, noua matrice a ecuației scalate va fi:
Acum scopul este să resetați coloana y în al treilea rând, vom efectua operațiuni între L2 și eu3, cu scopul de a reseta a doua coloană a uneia dintre ele.
Vom înlocui L3 cu L3 → L2 + 3L3.
31 = 0 + 3 · 0 = 0
32 = -3 + 3 · 1 = 0
33 = 7 + 3 · (-1) = 4
34 = -17 + 3 · 3 = -8
Deci L3 va fi: 0 0 4 -8.
Noua matrice scalată va fi:
Acum, când reprezentăm din nou această matrice ca un sistem, adăugând x, y și z la coloane, vom găsi următoarele:
Putem apoi găsi valoarea fiecăruia dintre necunoscute. Analizând ecuația III, trebuie să:
Dacă z = -2, să substituim valoarea lui z în a doua ecuație:
În cele din urmă, în prima ecuație, să substituim valoarea lui y și z pentru a găsi valoarea lui x.
Vezi și: Sistemul de inegalități de gradul 1 - cum să îl rezolvăm?
clasificarea sistemului liniar
Un sistem liniar este un set de ecuații liniare, care pot avea mai multe necunoscute și mai multe ecuații. Există mai multe metode de rezolvare, indiferent de numărul de ecuații. se află trei evaluări pentru un sistem liniar.
- Sistem posibil determinat (SPD): când ai o singură soluție.
- Sistem posibil nedeterminat (SPI): când are soluții infinite.
- sistem imposibil(SI): când nu există nicio soluție.
exerciții rezolvate
intrebarea 1 (IFG 2019) Luați în considerare suma măsurătorilor unei baze și înălțimea relativă la baza respectivă a unui triunghi egal cu 168 cm și diferența egală cu 24 cm. Este corect să se afirme că măsurătorile bazei și înălțimii în raport cu această bază măsoară, respectiv:
a) 72 cm și 96 cm
b) 144 cm și 24 cm
c) 96 cm și 72 cm
d) 24 cm și 144 cm
Rezoluţie
Alternativa C.
Fie h → înălțime și b → bază, atunci avem următorul sistem:
Prin metoda adăugării, trebuie să:
Pentru a găsi valoarea lui h, să substituim b = 96 cm în prima ecuație:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
intrebarea 2 Matricea incompletă care reprezintă următorul sistem liniar este:
Rezoluţie
Alternativa C.
Matricea incompletă este una care are coeficienții lui x, y și z, deci va fi o matrice de 3x3. Analizând alternativele, cea care conține matricea 3x3 cu semnele corecte este litera C.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm