THE mmultiplicarea matricei se face printr-un algoritm care necesită multă atenție. Pentru ca produsul dintre matricea A și matricea B să existe, este necesar ca numărul de coloane dă primul sediu, in caz A, este egal cu numărul de linii dă luni sediu, în cazul B.
Din multiplicarea între matrici, este posibil să înțelegem care este matricea identității, care este element neutru al multiplicării matricei și care este matricea inversă a matricei M, care este matricea M-1 al cărui produs al lui M by M-1 este egal cu matricea identității. De asemenea, este posibil să înmulțim o matrice cu un număr real - în acest caz, înmulțim fiecare dintre termenii sediu după număr.
Citește și: Ce este o matrice triunghiulară?
condiția existenței
Pentru a multiplica două matrici, mai întâi este necesar să verificați condiția de existență. Pentru ca produsul să existe, numărul de coloane din prima matrice trebuie să fie egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.
Mai mult, rezultatul înmulțirii este o matrice care are același număr de rânduri ca prima matrice și același număr de coloane ca a doua matrice.De exemplu, produsul AB între matricile A3x2 și B2x5 există deoarece numărul de coloane din A (2 coloane) este egal cu numărul de rânduri din B (2 rânduri), iar rezultatul este matricea AB3x5. Deja produs între matrice C3x5 și matricea D2x5 nu există, deoarece C are 5 coloane și D are 3 rânduri.
Cum se calculează produsul între două matrice?
Pentru a efectua multiplicarea matricei, este necesar să urmați câțiva pași. Vom face un exemplu de înmulțire a unei matrice algebrice A2x3 prin matricea B3x2
Știm că produsul există, deoarece matricea A are 3 coloane, iar matricea B, 3 rânduri. Vom numi C rezultatul multiplicării A · B. În plus, știm, de asemenea, că rezultatul este o matrice C.2x2, deoarece matricea A are 2 rânduri, iar matricea B, 2 coloane.
Pentru a calcula produsul matricei A2x3 și matricea B3X2, să urmăm câțiva pași.
Mai întâi vom găsi fiecare dintre termenii matricei C2x2:
Pentru a găsi termenii, hai legați întotdeauna rândurile matricei A de coloanele matricei B:
ç11 → Prima linie a lui A și Prima coloană din B
ç12 → Prima linie a lui A și A doua coloană din B
ç21 → A doua linie a lui A și Prima coloană din B
ç22 → A doua linie a lui A și A doua coloană din B
Calculăm fiecare dintre termeni înmulțind termenii din rândul lui A și termenii din coloana lui B. Acum trebuie să adăugăm aceste produse, începând cu ç11:
Prima linie a lui A
Prima coloană din B
ç11 = 11· B11 + 12· B21+ 13· B31
de calculat ç12:
Prima linie a lui A
A doua coloană din B
ç12 = 11· B12 + 12· B22+13· B32
de calculat ç21:
A doua linie a lui A
Prima coloană din B
ç21 = 21· B11 + 22· B21+23· B31
calculând termenul ç22:
A doua linie a lui A
A doua coloană din B
ç22 = 21· B12 + 22· B22+23· B32
Astfel, matricea C este formată din termenii:
Exemplu:
Să calculăm înmulțirea dintre matricile A și B.
Știm asta în A2x2 și B2x3, numărul de coloane din prima este egal cu numărul de rânduri din a doua, deci produsul există. Deci vom face C = A · B și știm că C2x3.
Înmulțind, trebuie să:
Vezi și: Ce este o matrice transpusă?
matrice de identitate
În multiplicarea între matrici, există unele cazuri speciale, cum ar fi matricea identității, care este elementul neutru al multiplicării între matrice.. Matricea de identitate este o matrice pătrată, adică numărul de rânduri este întotdeauna egal cu numărul de coloane. În plus, doar termenii diagonalei sunt egali cu 1 în ea, iar ceilalți termeni sunt egali cu zero. Când înmulțim o matrice M cu matricea de identitate INu, Noi trebuie sa:
M · INu = M
Exemplu:
Ce este matricea inversă?
Având în vedere o matrice M, o cunoaștem ca o matrice inversă a lui M. matricea M-1al cărui produs M · M-1 egal à matricea de identitate INu. Pentru ca o matrice să aibă un invers, aceasta trebuie să fie pătrată și să fie determinant trebuie să fie diferit de 0. Să vedem exemple de matrici care sunt inverse:
Calculând produsul A · B, trebuie să:
Rețineți că produs între matricea I generată de A și B2. Când se întâmplă acest lucru, spunem că B este matricea inversă a lui A. Pentru a afla mai multe despre acest tip de matrice, citiți: Matrice inversă.
Înmulțirea matricei cu un număr real
Spre deosebire de multiplicarea între matrici, există și multiplicarea matricii cu una numar real, care este o operațiune mult mai simplă pentru a găsi soluția.
Dat fiind o matrice M, înmulțind matricea cu un număr real k este egal cu matricea kM. Pentru a găsi această matrice kM, destul înmulțiți toți termenii din matrice cu constanta k.
Exemplu:
dacă k = 5 și având în vedere matricea M de mai jos, găsiți matricea 5M.
Înmulțirea:
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (Unitau) Date matrici A și B,
valoarea elementului c11 de matrice C = AB este:
A) 10.
B) 28.
C) 38.
D) 18.
E) 8.
Rezoluţie
Alternativa A.
Cum dorim termenul c11, să înmulțim termenii din primul rând și A cu termenii din prima coloană a lui B.
calculând c11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
Intrebarea 2 - (Enem 2012) Un elev a înregistrat notele bilunare ale unora dintre subiectele sale într-un tabel. El a menționat că intrările numerice din tabel formează o matrice 4 × 4 și că ar putea calcula mediile anuale pentru aceste discipline folosind produsul matricelor. Toate testele au avut aceeași greutate, iar tabelul pe care l-a primit este prezentat mai jos.
Pentru a obține aceste medii, a înmulțit matricea obținută din tabel cu matricea:
Rezoluţie
Alternativa E.
Media nu este altceva decât suma elementelor împărțită la numărul de elemente. Rețineți că există 4 note pe linie, deci media ar fi suma acelor note împărțite la 4. Împărțirea la 4 este la fel ca înmulțirea cu fracțiune ¼. De asemenea, matricea notelor este o matrice 4x4, deci trebuie să ne înmulțim cu o matrice 4x1, adică are 4 rânduri și 1 coloană, pentru a găsi matricea care are media notelor.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm