Matricea: ce este, tipuri, operații, exemple

THE sediu este utilizat în mod obișnuit pentru organizarea datelor tabulare pentru a facilita rezolvarea problemelor. Informațiile matriciale, numerice sau nu, sunt aranjate în rânduri și coloane.

Setul de matrice dotat cu operațiile de plus, scădere și multiplicare iar trăsăturile, ca element neutru și invers, formează o structură matematică care permite aplicarea sa în diverse domenii a acestei mari zone de cunoaștere.

Vezi și tu: Relația dintre sistemele matriciale și liniare

Reprezentarea matricei

Înainte de a începe studiile pe matrici, este necesar să se stabilească câteva notații cu privire la reprezentările lor. La matricile sunt întotdeauna reprezentate cu majuscule. (A, B, C ...), care sunt însoțite de indici, în care primul număr indică numărul de rânduri, iar al doilea, numărul de coloane.

THE numărul de linii (rânduri orizontale) și coloane (rânduri verticale) ale unei matrici determină Ordin. Matricea A are ordinea m cu n. Informațiile conținute într-o matrice sunt numite elemente

și sunt organizate între paranteze, paranteze pătrate sau două bare verticale, a se vedea exemplele:

Matricea A are două rânduri și trei coloane, deci ordinea ei este două câte trei → A_2x3.

Matricea B are un rând și patru coloane, deci ordinea sa este una câte patru, deci se numește matrice de linie → B_1x4.

Matricea C are trei rânduri și o coloană, și așa se numește matricea coloanei iar ordinea sa este trei câte unul → C_3x1.

Putem reprezenta generic elementele unui tablou, adică putem scrie acest element folosind o reprezentare matematică. Oelementul generic va fi reprezentat de litere mici (a, b, c ...) și, la fel ca în reprezentarea matricelor, are și un index care indică locația sa. Primul număr indică rândul în care se află elementul, iar al doilea număr indică coloana în care este situat.

Luați în considerare următoarea matrice A, vom lista elementele sale.

Observând primul element care este situat în primul rând și prima coloană, adică în rândul unu și coloana unu, avem numărul 4. Pentru a face scrierea mai ușoară, o vom nota prin:

₁₁ → linia un element, coloana unu

Deci avem următoarele elemente ale matricei A_2x3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

În general, putem scrie o matrice în funcție de elementele sale generice, acesta este matrice generică.

O matrice de m rând și n coloane este reprezentată de:

• Exemplu

Determinați matricea A = [a_ij ]_2x2, care are următoarea lege de formare pentru_ij = j² - 2i. Din datele declarației, avem că matricea A este de ordinul doi la doi, adică are două linii și două coloane, prin urmare:

În plus, s-a dat legea formării matricei, adică fiecare element este mulțumit de relația cu_ij = j² - 2i. Înlocuind valorile lui i și j în formulă, avem:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Prin urmare, matricea A este:

Tipuri de matrice

Unele matrice merită o atenție specială, vezi acum acestea tipuri de matrice cu exemple.

• matrice pătrată

O matrice este pătrată când numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. Reprezentăm matricea care are n rânduri și n coloane cu A_Nu (se citește: matricea pătrată de ordinul n).

În matricile pătrate, avem două elemente foarte importante, diagonale: principale și secundare. Diagonala principală este formată din elemente care au indici egali, adică este fiecare element a_ij cu i = j. Diagonala secundară este formată din elementele a_ij cu i + j = n +1, unde n este ordinea matricei.

• matrice de identitate

Matricea de identitate este o matrice pătrată care are toatetuelemente ale diagonalei principale egale cu 1 si alte elemente egale cu 0, legea sa de formare este:

Notăm această matrice cu I, unde n este ordinea matricei pătrate, vezi câteva exemple:

• matrice unitară

Este o matrice pătrată de ordinul unu, adică are un rând și o coloană și, prin urmare, doar un element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 și C = || 5 ||_1x1

Acestea sunt exemple de matrici unitare, cu accent pe matricea B, care este a matricea identității unității.

• matrice nulă

Se spune că o matrice este nulă dacă toate elementele sale sunt egale cu zero. Reprezentăm o matrice nulă de ordinul m cu n cu O_mxn.

Matricea O este nulă de ordinul 4.

• matrice opusă

Luați în considerare două matrice de ordin egal: A = [a_ij]_mxn și B = [b_ij]_mxn. Aceste matrice vor fi numite opuse dacă și numai dacă,_ij = -b_ij. Prin urmare, elementele corespunzătoare trebuie să fie numere opuse.

Putem reprezenta matricea B = -A.

• matricea transpusă

Două matrice A = [a_ij]_mxn și B = [b_ij]_nxm sunt transpuse dacă și numai dacă,_ij = b_ji , adică, având o matrice A, pentru a-și găsi transpunerea, luați doar liniile ca coloane.

Transpunerea matricei A este notată cu A^T. Vezi exemplul:

Vezi mai mult: Matricea inversă: ce este și cum se verifică

Operații matrice

Reprezentarea generică a unei matrice n x m.

Mulțimea matricilor are operațiile aadunare și multiplicare foarte bine definite, adică ori de câte ori operăm două sau mai multe matrice, rezultatul operației aparține în continuare setului de matrice. Totuși, ce zici de operația de scădere? Înțelegem această operație ca fiind inversul adunării (matrice opusă), care este, de asemenea, foarte bine definit.

Înainte de a defini operațiunile, să înțelegem ideile element corespunzător și egalitatea matricilor. Elementele corespondente sunt cele care ocupă aceeași poziție în matrici diferite, adică sunt situate în același rând și coloană. Evident, matricile trebuie să fie de aceeași ordine pentru a exista elemente potrivite. Uite:

Elementele 14 și -14 sunt elemente corespunzătoare ale matricilor opuse A și B, deoarece ocupă aceeași poziție (același rând și coloană).

Se va spune că două matrice sunt egale dacă și numai dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Astfel, date fiind matricile A = [a_ij]_mxn și B = [b_ij]_mxn, acestea vor fi aceleași dacă și numai dacă,_ij = b_ij pentru orice i j.

• Exemplu

Știind că matricile A și B sunt egale, determinați valorile lui x și t.

Deoarece matricile A și B sunt egale, atunci elementele corespunzătoare trebuie să fie egale, prin urmare:

x = -1 și t = 1

• Adunarea și scăderea matricilor

Operațiunile de adunarea și scăderea între matrice sunt destul de intuitive, dar mai întâi trebuie îndeplinită o condiție. Pentru a efectua aceste operațiuni, este mai întâi necesar să verificați dacă ordinele matrice sunt egale.

Odată verificată această condiție, adunarea și scăderea matricei are loc prin adăugarea sau scăderea elementelor corespunzătoare ale matricelor. Se consideră matricile A = [a_ij]_mxn și B = [b_ij]_mxn, atunci:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Exemplu

Luați în considerare matricile A și B de mai jos, determinați A + B și A - B.

Citește și tu: Operații cu număr întreg

• Înmulțirea unui număr real cu matrice

Înmulțirea unui număr real într-o matrice (cunoscută și sub numele de multiplicare a matricii) cu un scalar este dată de înmulțirea fiecărui element al matricei cu scalarul.

Fie A = [a_ij]_mxn o matrice și t un număr real, deci:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Vezi exemplul:

• Înmulțirea matricei

Înmulțirea matricilor nu este la fel de banală ca adunarea și scăderea acestora. Înainte de a efectua multiplicarea, trebuie îndeplinită și o condiție referitoare la ordinea matricilor. Luați în considerare matricile A_mxn și B_nxr.

Pentru a efectua multiplicarea, numărul de coloane din prima matrice trebuie să fie egal cu numărul de rânduri din a doua. Matricea produsului (care provine din multiplicare) are o ordine dată de numărul de rânduri din primul și numărul de coloane din al doilea.

Pentru a efectua înmulțirea dintre matricile A și B, trebuie să înmulțim fiecare dintre rânduri cu toate coloanele după cum urmează: primul element a lui A se înmulțește cu primul element al lui B și apoi se adaugă la al doilea element al lui A și se înmulțește cu al doilea element al lui B și așa succesiv. Vezi exemplul:

Citește și tu: Teorema lui Laplace: știți cum și când să utilizați

Exerciții rezolvate

intrebarea 1 - (U. ȘI. Londrina - PR) Fie matricile A și B, respectiv, 3 x 4 și p x q, iar dacă matricea A · B are ordinul 3 x 5, atunci este adevărat că:

a) p = 5 și q = 5

b) p = 4 și q = 5

c) p = 3 și q = 5

d) p = 3 și q = 4

e) p = 3 și q = 3

Soluţie

Avem afirmația că:

THE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Din condiția de a înmulți două matrice, avem faptul că produsul există numai dacă numărul de coloane din prima este egal cu numărul de rânduri din a doua, deci p = 4. Și știm, de asemenea, că matricea produsului este dată de numărul de rânduri din primul cu numărul de coloane din al doilea, deci q = 5.

Prin urmare, p = 4 și q = 5.

A: Alternativă b

Intrebarea 2 - (Vunesp) Determinați valorile lui x, y și z, pe următoarea egalitate, implicând 2 x 2 matrice reale.

Soluţie

Să efectuăm operațiile dintre tablouri și apoi egalitatea dintre ele.

Pentru a determina valoarea lui x, y și z, vom rezolva sistemul liniar. Inițial, să adăugăm ecuațiile (1) și (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Înlocuind valoarea lui x găsită în ecuația (3), avem:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Și, în cele din urmă, înlocuind valorile lui x și z găsite în ecuația (1) sau (2), avem:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Prin urmare, soluția problemei este dată de S = {(2, 0, 2)}.

de Robson Luiz
Profesor de matematică