Conceptele de multipli și separatoare a unui număr natural se extinde la setul de numere întregi. Când ne ocupăm de subiectul multiplilor și divizorilor, ne referim la seturi numerice care îndeplinesc unele condiții. Multiplii se găsesc după înmulțirea cu numere întregi, iar divizorii sunt numere divizibile cu un anumit număr.
Din această cauză, vom găsi subseturi de numere întregi, deoarece elementele mulțimilor de multipli și divizori sunt elemente ale mulțimii de numere întregi. Pentru a înțelege ce sunt numerele prime, este necesar să înțelegem conceptul de divizori.
multipli ai unui număr
fi și B doi numere întregi cunoscute, numărul este multiplu de B dacă și numai dacă există un număr întreg k astfel încât = B · K. Astfel, set de multipli în se obține prin multiplicarepentru toate numerele întregi, rezultatele acestora multiplicări sunt multiplii de .
De exemplu, să enumerăm primii 12 multipli ai lui 2. Pentru aceasta trebuie să înmulțim numărul 2 cu primele 12 numere întregi, astfel:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Prin urmare, multiplii de 2 sunt:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Rețineți că am enumerat doar primele 12 numere, dar am fi putut enumera atâtea cât este necesar, întrucât lista multiplilor este dată prin înmulțirea unui număr cu toate numerele întregi. Prin urmare, setul multiplilor este infinit.
Pentru a verifica dacă un număr este sau nu multiplu al altuia, trebuie să găsim un număr întreg, astfel încât înmulțirea dintre ele să ducă la primul număr. Vezi exemplele:
→ Numărul 49 este multiplu de 7, deoarece există un număr întreg care, înmulțit cu 7, are ca rezultat 49.
49 = 7 · 7
→ Numărul 324 este multiplu de 3, deoarece există un număr întreg care, înmulțit cu 3, are ca rezultat 324.
324 = 3 · 108
→ Numărul 523 Nu este multiplu de 2 deoarece nu există un număr întreg care, înmulțit cu 2, are ca rezultat 523.
523 = 2 · ?
Citește și: Proprietăți de multiplicare care facilitează calculul mental
Multipli de 4
După cum am văzut, pentru a determina multiplii numărului 4, trebuie să înmulțim numărul 4 cu numere întregi. Prin urmare:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Prin urmare, multiplii de 4 sunt:
M (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Multipli de 5
În mod analog, avem multipli de 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Prin urmare, multiplii de 5 sunt: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...}
un separator de număr
fi și B două numere întregi cunoscute, să zicem B este divizor de dacă numărul B este multiplu de , adică Divizia intre B și este exact (trebuie să plece odihnă 0).
Vezi câteva exemple:
→ 22 este multiplu de 2, deci 2 este divizor de 22.
→ 63 este multiplu al lui 3, deci 3 este divizorul lui 63.
→ 121 nu este multiplu de 10, deci 10 nu este divizor de 121.
Pentru a enumera divizorii unui număr, trebuie să căutăm numerele care îl împart. Uite:
- Enumerați separatoarele de 2, 3 și 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Rețineți că numerele din lista divizorilor sunt întotdeauna divizibile cu numărul în cauză și că cea mai mare valoare care apare în această listă este numărul în sine., deoarece niciun număr mai mare decât acesta nu va fi divizibil cu acesta.
De exemplu, la divizorii de 30, cea mai mare valoare din această listă este 30 însăși, deoarece niciun număr mai mare de 30 nu va fi divizibil cu acesta. Prin urmare:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Aflați mai multe: Fapte amuzante despre împărțirea numerelor naturale
Proprietatea multiplilor și divizorilor
Aceste proprietăți sunt legate de Divizia între două numere întregi. Rețineți că, atunci când un număr întreg este multiplu al altuia, este, de asemenea, divizibil cu celălalt număr.
Considera algoritm de diviziune astfel încât să putem înțelege mai bine proprietățile.
N = d · q + r, unde q și r sunt numere întregi.
sa nu uiti asta N se numește de dividend;d, pentru divizor;q, pentru coeficient; și r, apropo.
→ Proprietatea 1: Diferența dintre dividend și restul (N - r) este un multiplu al divizorului, sau numărul d este divizorul lui (N - r).
→ Proprietatea 2: (N - r + d) este un multiplu al lui d, adică numărul d este divizorul lui (N - r + d).
Vezi exemplul:
- La efectuarea împărțirii 525 la 8, obținem coeficientul q = 65 și restul r = 5. Astfel, avem dividendul N = 525 și divizorul d = 8. Vedeți că proprietățile sunt îndeplinite deoarece (525 - 5 + 8) = 528 este divizibil cu 8 și:
528 = 8 · 66
numere prime
Tu numere prime sunt cele care au ca divizor în listarea lor doar numărul 1 și numărul în sine. Pentru a verifica dacă un număr este sau nu prim, una dintre cele mai banale metode este să enumerăm divizorii acelui număr. Dacă apar numerele mai mari de 1 și numărul în cauză, acesta nu este prim.
→ Verificați care sunt numerele prime cuprinse între 2 și 20. Pentru aceasta, să enumerăm divizorii tuturor acestor numere între 2 și 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Deci numerele prime cuprinse între 2 și 20 sunt:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 și 19}
Rețineți că setul este din unele dintre primele prime, această listă continuă. Rețineți că, cu cât este mai mare numărul, cu atât devine mai greu să vă dați seama dacă este prim sau nu.
Citeste mai mult: Numere iraționale: cele care nu pot fi reprezentate în fracțiuni
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (UMC-SP) Numărul de elemente din setul divizorilor primi ai 60 este:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Soluţie
Alternativa A
Mai întâi vom enumera divizorii lui 60 și apoi vom analiza care sunt primii.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Dintre aceste numere, avem primele:
{2, 3, 5}
Prin urmare, numărul divizorilor primi ai 60 este 3.
intrebarea 2 - Scrieți toate numerele naturale mai mici de 100 și multiplii de 15.
Soluţie
Știm că multiplii lui 15 sunt rezultatele înmulțirii numărului 15 cu toate numerele întregi. Deoarece exercițiul cere să scrieți numerele naturale mai mici de 100 și care sunt multipli de 15, trebuie înmulțiți 15 cu toate numerele mai mari decât zero, până când găsim cel mai mare multiplu înainte de 100, prin urmare:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Prin urmare, numerele naturale mai mici de 100 și multiplii de 15 sunt:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
întrebarea 3 - Care este cel mai mare multiplu de 5 între 100 și 1001?
Soluţie
Pentru a determina cel mai mare multiplu de 5 între 100 și 1001, pur și simplu identificați primul multiplu de 5 înapoi în față.
1001 nu este multiplu de 5, deoarece nu există un număr întreg care, înmulțit cu 5, să ducă la 1001.
1000 este multiplu de 5, deoarece 1000 = 5 · 200.
Prin urmare, cel mai mare multiplu de 5, între 100 și 1001, este 1000.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
