unu progresie aritmetică (PA) este un secvenţă numeric în care fiecare termen este suma celui anterior cu o constantă, numită raport. Ei exista expresii matematice pentru a determina termenul unui PA și pentru a calcula suma acestuia Nu primii termeni.
Formula utilizată pentru a calcula suma termenilor a unui PA finit sau a sumei Nu primii termeni ai unui PA sunt după cum urmează:
sNu = la1 +Nu)
2
* n este numărul de termeni BP;1 este primul termen, iarNu este ultima.
Originea sumei termenilor PA
Se spune că matematicianul german Carl Friederich Gauss, la aproximativ 10 ani, a fost pedepsit cu clasa sa la școală. Profesorul le-a spus elevilor să adune toate numerele care apar în secvenţă de la 1 la 100.
Gauss nu a fost doar primul care a terminat într-o perioadă foarte scurtă de timp, ci a fost și singurul care a obținut rezultatul corect (5050). Mai mult, nu a arătat niciun calcul. Ceea ce a făcut a fost să repare următoarea proprietate:
Suma a doi termeni echidistanți față de extremele unui PA finit este egală cu suma extremelor.
Nu existau cunoștințe despre TIGAIE la acea vreme, dar Gauss a văzut lista numerelor și și-a dat seama că adăugarea primului la ultimul ar duce la 101; adăugând al doilea la penultim, rezultatul ar fi și 101 și așa mai departe. Ca suma tuturor perechilor de termeni echidistant dintre extreme a ajuns la 101, Gauss a trebuit doar să înmulțească acel număr cu jumătate din termenii disponibili pentru a găsi rezultatul 5050.
Rețineți că de la numărul 1 la numărul 100, există exact 100 de numere. Gauss și-a dat seama că, dacă le va adăuga două câte două, va obține 50 de rezultate egale cu 101. Prin urmare, această multiplicare a fost făcută cu jumătate din totalul termenilor.
Demonstrarea sumei termenilor unui PA
Această ispravă a dat naștere la expresia utilizată pentru a calcula suma de Nu primii termeni ai unui PA. Tactica folosită pentru a ajunge la această expresie este următoarea:
dat unul TIGAIE oricare, vom adăuga primii n termeni ai acestuia. Din punct de vedere matematic, vom avea:
sNu =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +Nu
Chiar sub aceasta suma termenilor, vom scrie un altul, cu aceiași termeni ca și cel precedent, totuși, în sens descrescător. Rețineți că suma termenilor din primul este egală cu suma termenilor din al doilea. Prin urmare, ambele au fost echivalate cu SNu.
sNu =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +Nu
sNu =Nu +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
Rețineți că aceste două expresii au fost obținute dintr-o singură TIGAIE și că termenii echidistanți sunt aliniați vertical. Prin urmare, putem adăuga expresiile pentru a obține:
sNu =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +Nu
+ sNu =Nu +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
2SNu = (1 +Nu) + (a2 +n - 1) +... + (an - 1 +2) + (aNu +1)
Amintiți-vă că suma termenilor echidistanți de extreme este egală cu suma extremelor. Prin urmare, fiecare paranteză poate fi înlocuită cu suma extremelor, așa cum vom face în continuare:
2SNu = (1 +Nu) + (a1 +Nu) +... + (1 +Nu) + (a1 +Nu)
Ideea lui Gauss a fost de a adăuga termenii echidistanți ai unei secvențe. Așa că a primit jumătate din suma de termeni de la TIGAIE în rezultate 101. Am făcut-o astfel încât fiecare termen al BP inițial să fie adăugat la valoarea sa echidistantă, păstrându-l numărul de termeni. Astfel, deoarece PA avea n termeni, putem schimba suma, în expresia de mai sus, printr-o înmulțire și rezolva ecuaţie a găsi:
2SNu = (1 +Nu) + (a1 +Nu) +... + (1 +Nu) + (a1 +Nu)
2SNu = n (a1 +Nu)
sNu = la1 +Nu)
2
Aceasta este exact formula utilizată pentru a adăuga Nu primii termeni ai unui PA.
Exemplu
Dat fiind P.A (1, 2, 3, 4), determinați suma primilor 100 de termeni.
Soluţie:
Va trebui să găsim termenul a100. Pentru asta, vom folosi formula termenului general a unui PA:
Nu =1 + (n - 1) r
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
Acum formula pentru suma primilor n termeni:
sNu = la1 +Nu)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm