Raționalizarea numitorilor este tehnica folosită atunci când a fracțiune are un număr irațional în numitor și doriți să găsiți o a doua fracțiune echivalentă cu prima fracție, dar care nu are un număr irațional în numitorul său. Pentru a face acest lucru, este necesar să efectuați operații matematice pentru a rescrie fracția, astfel încât să nu aibă o rădăcină inexactă în numitorul său.
Citește și: Cum se rezolvă operațiile cu fracții?
Cum să raționalizăm numitorii?
Vom începe cu cel mai simplu caz de raționalizare a numitorilor și vom trece la cel mai complex, dar tehnica în sine este să căutăm o fracțiune echivalentă înmulțind numărătorul și numitorul cu un număr convenabil care permite eliminarea rădăcinii numitorului fracției. Vedeți cum puteți face acest lucru în diferite situații de mai jos.
Raționalizarea atunci când există o rădăcină pătrată în numitor
Există câteva fracții care pot fi reprezentate cu numere irationale în numitori. Vezi câteva exemple:
Când numitorul fracției este irațional, folosim câteva tehnici pentru al transforma într-un numitor rațional, cum ar fi raționalizarea. când există o
rădăcină pătrată în numitor, putem împărți în două cazuri. Primul este când fracția are o singură rădăcină în radicalul său.Exemplul 1:
Pentru a raționaliza acest numitor, să găsim fracția echivalentă cu aceasta, dar care nu are un numitor irațional. Pentru asta, hai înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr - în acest caz va fi exact numitorul fracției, adică √3.
La multiplicarea fracțiilor, ne înmulțim drept. Știm că 1 · √3 = √3. În numitor, avem că √3 · √3 = √9 = 3. Cu aceasta, ajungem la următoarele:
Prin urmare, avem o reprezentare a fracției al cărei numitor nu este un număr irațional.
Exemplul 2:
Al doilea caz este atunci când există un adaos sau o diferență între o rădăcină inexactă.
Când există o diferență sau o adăugare de termeni în numitor, unul dintre ei fiind rădăcina neexactă, înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului. Numim conjugatul lui √2 - 1 inversul celui de-al doilea număr, adică √2 + 1.
Efectuând înmulțirea în numărător, trebuie să:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Numitorul este produs remarcabil cunoscut ca produs al sumei pentru diferență. Rezultatul său este întotdeauna pătratul primului termen minus pătratul celui de-al doilea termen.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Deci, raționalizând numitorul acestei fracții, trebuie să:
Vezi și: Trei greșeli comune în simplificarea fracțiunii algebrice
Raționalizarea atunci când există o rădăcină index mai mare de 2
Uită-te acum la câteva exemple când există în numitor o rădăcină de indici mai mare de 2.
Deoarece scopul este de a elimina radicalul, haideți să înmulțim numitorul astfel încât rădăcina acelui numitor să poată fi anulată.
Exemplul 1:
În acest caz, pentru a elimina exponentul radicalului, haideți înmulțiți cu rădăcina cubică de 2² în numărător și numitor, astfel încât să apară în interiorul radicalului 2³ și, astfel, este posibil să se anuleze rădăcina cubică.
Prin efectuarea înmulțirii, trebuie să:
Exemplul 2:
Folosind același raționament, să înmulțim numitorul și numărătorul cu un număr care determină potență de la numitor la index, adică să înmulțiți cu a cincea rădăcină de 3 cuburi astfel încât să puteți anula numitorul.
Citește și: Cum se simplifică fracțiile algebrice?
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Raționalizând numitorul fracției de mai jos, găsim:
A) 1 + √3.
B) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Rezoluţie
Alternativa C.
Intrebarea 2 - (IFCE 2017 - adaptat) Aproximând valorile √5 și √3 la a doua zecimală, obținem 2,23 și respectiv 1,73. Aproximativ, valoarea următoarei expresii numerice până la a doua zecimală este:
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Rezoluţie
Alternativa E.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
