THE matematica financiara este unul dintre domeniile matematicii responsabile de studiu fenomene legate de lumea financiară. În plus, studierea conceptelor lor este foarte importantă, deoarece, în viața noastră de zi cu zi, sunt din ce în ce mai mult mai multe cadouri, de exemplu, atunci când primim o reducere atunci când cumpărăm ceva în numerar sau un extra atunci când cumpărăm ceva rate.
Studierea matematicii financiare necesită cunoștințe prealabile procent, vom vedea că toate conceptele se bazează pe această temă.
Citește și:Calcul procentual cu regula a trei
La ce servește matematica financiară?
Matematica financiară este utilizată zilnic, de exemplu, atunci când vom face o achiziție în numerar și vânzătorul oferă o reducere 5% din valoarea produsului sau când alegem să achiziționăm un produs în rate și, în acest proces, a rata dobânzii se facturează cumpărătorului în timp.
Se numește un exemplu al importanței înțelegerii conceptelor de matematică financiară limita de descoperit de cont
. La deschiderea unui cont la o anumită bancă, se oferă bani „în plus”, de exemplu, pentru situații de urgență. Cu toate acestea, la utilizarea acestei limite sau a unei părți a acesteia, se percepe o taxă care trebuie plătită ulterior, în plus față de banii luați. Această rată se numește dobândă și, înțelegând mai bine aceste concepte, putem elabora o strategie mai bună pentru gestionarea finanțelor noastre.Exemplul 1
O persoană are nevoie de 100 de reali pentru a-și plăti facturile lunare, totuși întregul salariu a fost deja cheltuit pe celelalte facturi. În analiză, această persoană a constatat că are două opțiuni.
Opțiunea 1 - Folosiți limita de descoperit de cont oferită de bancă, la o rată de 0,2% pe zi, pentru a fi plătită într-o lună.
Opțiunea 2 - Obțineți cele 100 de reali de la un prieten, la o rată de 2% pe lună, pentru a fi plătiți timp de două luni.
Folosind doar cunoștințele procentuale, să analizăm care este cea mai bună opțiune.
analizând Opțiunea 1, rețineți că se percepe o rată de 0,2% pe zi, adică se adaugă în fiecare zi 0,2% din suma împrumutului, astfel:
Cum trebuie plătit împrumutul într-o lună și având în vedere luna cu 30 de zile, valoarea dobânzii de plătit este:
0,2 ·30
6
Astfel, putem concluziona că suma care trebuie plătită la sfârșitul unei luni este:
100 + 6= 106 reai
100 → Suma împrumutată de bancă
6 → Suma dobânzii
Analizând acum opțiunea 2, comisionul perceput este de 2% pe lună și trebuie plătit în termen de două luni, adică în fiecare lună, 2% din suma împrumutată se adaugă la datorie, astfel:
Rețineți că la suma datoriei trebuie adăugate 2 reali pe lună:
2 · 2 = 4
Prin urmare, suma care trebuie plătită la sfârșitul perioadei este:
100+ 4 = 104 reali
100 → Suma împrumutată de prieten
4 → Suma dobânzii
Deci, putem concluziona că cea mai bună opțiune este să luați banii cu prietenul. Acesta este un lucru simplu și important aplicarea matematicii financiareDesigur, există probleme, instrumente și concepte mai sofisticate, dar ca orice altceva din viață, înainte de a înțelege partea complexă, este necesar să înțelegem elementele de bază.
Bazele matematicii financiare
Principalele concepte de matematică financiară implică cunoștințe prealabile despre procente. În continuare, vom vedea concepte precum adunare, reducere, dobândă simplă și dobândă compusă.
plus
Ideea adăugării este asociată cu adăugați sau adăugați o parte din valoare la valoarea inițială, adică adăugăm un procent dintr-o anumită valoare. Vezi exemplul:
Exemplul 2
Un produs a costat 35 de reali, odată cu creșterea dolarului, a crescut cu 30%. Determinați noua valoare pentru acest produs.
Adesea, când mergem să facem calculele legate de adăugare, acestea sunt efectuate greșit scriind:
35 + 30%
Procentul reprezintă o parte din ceva, deci pentru ca acest cont să fie corect, trebuie mai întâi să calculăm 30% din valoarea inițială, în acest caz 35. Prin urmare:
35 + 30% din 35
Rezolvând mai întâi procentul și apoi adăugând valorile împreună, va trebui să:
Prin urmare, odată cu adăugarea, valoarea produsului va fi de 45,5 reali (patruzeci și cinci de reali și cincizeci de cenți).
În general, putem deduce o formula pentru adunare. Luați în considerare o valoare x și crește cu p%. În conformitate cu ceea ce tocmai am definit, putem scrie acest adaos după cum urmează:
x + p% din x
Dezvoltând această expresie, va trebui să:
Să refacem exemplul 2 folosind formula de mai sus. Rețineți că x = 35 și creșterea a fost de 30%, adică p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Rețineți că s-a obținut aceeași valoare și este o opțiune de a utiliza o astfel de formulă.
Vezi și: Cantități invers proporționale
Reducere
Ideea de reducere este similară cu ideea de a adăuga, singura diferență este că, în loc să adăugăm, ar trebui scădea un procent din valoarea inițială.
Exemplul 3 - Un produs care costă 60 de reali, atunci când este cumpărat în numerar, are o reducere de 30%. Determinați noua valoare pentru acest produs.
Similar cu adăugarea, va trebui să:
Analog cu adaosul, putem deduce a formula de reducere. Luați în considerare o valoare x și că are o reducere de p%. Conform celor definite de noi, putem scrie acest adaos după cum urmează:
x - p% din x
Dezvoltând această expresie, va trebui să:
Să refacem exemplul 3 folosind formula de mai sus, rețineți că x = 60 și creșterea a fost de 30%, adică p = 30%.
x · (1 - 0,01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Vedeți că, folosind formula, am obținut același rezultat, deci în reducere avem și două opțiuni pentru a o determina.
interes simplu
Ideea din spatele interes simplu este de asemenea similar ideii de adaos, diferența dintre ele este dată de perioada în care sunt calculate. În timp ce rata de suprataxare se aplică o singură dată, rata dobânzii simple este calculat într-un interval de timp. Putem calcula dobânda simplă a unui capital dat C, aplicat la o rată dată la un regim de dobândă simplu (i), într-o perioadă dată de timp t, prin formulă:
J = C · i · t
Suma plătită la sfârșitul acestei investiții trebuie dată de banii aplicați plus suma dobânzii și se numește sumă (M). Suma este dată de expresia:
M = C + J
M = C + C · i · t
M = C (1 + it)
Singura preocupare pe care ar trebui să o avem cu privire la problemele care implică un interes simplu este cu rata și unitățile de măsură ale timpului, trebuie să fie întotdeauna în unități egale.
Exemplul 4
Marta vrea să investească 6000 de dolari SUA într-o companie care promite să genereze profituri de 20% pe an sub un regim de dobânzi simplu. Contractul făcut de Marta precizează că poate retrage banii doar după șase luni, să stabilească care a fost rentabilitatea banilor ei la sfârșitul perioadei respective.
Observând afirmația, vezi că capitalul este egal cu 6000, deci avem C = 6000. Rata dobânzii este de 20% pe an, iar banii vor fi investiți timp de șase luni. Rețineți că rata a fost dată în anul și perioada în luni și știm că unitatea de măsură pentru ambele trebuie să fie aceeași. Să găsim taxa lunară, vezi:
Știm că rata este de 20% pe an, întrucât un an are 12 luni, deci rata lunară va fi:
20%: 12
1,66% pe lună
0,016 pe lună
Înlocuind aceste date în formulă, trebuie să:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reai
Prin urmare, suma care trebuie retrasă la sfârșitul celor șase luni este de 576 de reali, iar suma este:
M = 6000 + 576
M = 6576 reai
Citeste mai mult: Înțelegerea utilizării unui çalculator ffinanciar
Interes compus
În cazul dobânzii simple, valoarea ratei dobânzii este întotdeauna calculată peste capitalul inițial, diferența dintre aceste două sisteme (dobândă simplă și compusă) se află tocmai în acest moment, adică în modul în care este rata calculat. În interes compus, rata dobânzii este întotdeauna calculată peste capitalul lunii precedente, acest lucru face ca dobânda să-și crească valoarea exponențial. THE formulă pentru a calcula dobânda în sistemul de amortizare a dobânzii compuse este dată de:
M = C · (1 + i)t
Pe ce M este suma acumulată, Ç este valoarea capitalului inițial, eu este rata dobânzii dată ca procent și t este perioada în care a fost investit capitalul în sistem. Ca și în cazul dobânzii simple, în sistemul dobânzii compuse, rata și timpul trebuie să fie în aceeași unitate.
Exemplul 5
Calculați suma sumei pe care Marta o va încasa la sfârșitul celor șase luni aplicând cele 6000 de reali la o rată a dobânzii de 20% pe an în sistemul dobânzii compuse.
(Date: 1.20,5 ≈ 1,095)
Rețineți că datele sunt aceleași ca în exemplul 4, deci trebuie să:
C = 6000
i = 0,2 p.a.
t = 0,5 ani
Înlocuind datele din formula dobânzii compuse, trebuie să:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1.095
M = 6572,67 reali
Prin urmare, suma care trebuie retrasă de Marta în sistemul de dobânzi simple este de 6572, 67 de reali. Rețineți că suma din sistemul dobânzii compuse este mai mare decât în sistemul dobânzii simple și acest lucru are loc în toate cazurile. Pentru a înțelege mai bine modul în care este calculată această rată, accesați: Taxe çopustu.
Exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (FGV - SP) Un capital aplicat dobânzii simple, la o rată de 2,5% pe lună, se triplează cu:
a) 75 de luni
b) 80 de luni
c) 85 de luni
d) 90 de luni
e) 95 de luni
Rezoluţie
Alternativa B.
Trebuie să găsim momentul în care dobânda este egală cu 2C, întrucât, cu dobânda în acest mod împreună cu capitalul inițial aplicat al lui C, vom avea suma de 3C (triplul capitalului). Prin urmare:
J = 2C; C = C; i = 2,5% pe lună; t =?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Astfel, timpul pentru triplarea acestui capital este de 80 de luni.
Notă: 80 de luni este egal cu 6,6 ani.
intrebarea 2 - O marfă, după ce a suferit o creștere de 24%, și-a schimbat prețul la 1041,60 reai. Determinați suma înainte de a adăuga.
Rezoluţie
Putem utiliza formula generală de adăugare pentru a determina valoarea mărfii înainte de adăugare.
x · (1 + 0,01p)
În formulă, valoarea x este ceea ce căutăm și p este valoarea adăugării, iar această expresie ne oferă valoarea produsului după adăugare, prin urmare:
1041,60 = x · (1 + 0,01p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Vedeți că avem o ecuație de gradul întâi, pentru a o rezolva, trebuie să izolăm x-ul necunoscut, împărțind ambele părți ale egalității cu 1,24 sau, pur și simplu, să treceți diviziunea de 1,24. Prin urmare:
Prin urmare, valoarea mărfii înainte de adăugare a fost de 840 de reali.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm