Poligoane sunt poze geometrie plată și închis format din segmente drepte. Poligoanele sunt împărțite în două grupuri, convex si nu convex. Când un poligon are toate laturile egale și, în consecință, toate unghiuri egal intern, este un poligon regulat. Poligoanele regulate pot fi denumite în funcție de numărul laturilor lor.
Vezi și: Construirea de poligoane circumscrise
Elementele unui poligon
Un poligon este o figură plană și închisă formată prin unirea unui număr finit de segmente de linie dreaptă. Deci, ia în considerare orice poligon:
Punctele A, B, C, D, E, F, G și H sunt vârfuri ale poligonului și sunt formate prin întâlnirea segmentelor AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH și HA, numite laturile a poligonului.
Segmentele AF, AE, AD și BG sunt diagonale a poligonului. (Rețineți că acestea sunt câteva exemple de diagonale, în poligonul anterior avem mai multe dintre acestea.) Diagonalele sunt segmente de linie care „leagă” vârfurile poligonului.
Nomenclatura unui poligon
Putem numi poligoanele în funcție de lor numărul de laturi. Vedeți numele poligoanelor principale în tabelul de mai jos.
Numărul de laturi (n) |
Nomenclatură |
3 |
triunghi |
4 |
patrulater |
5 |
Pentagon |
6 |
Hexagon |
7 |
Heptagon |
8 |
Octogon |
9 |
Eneagonul |
10 |
Decagon |
11 |
Undecagon |
12 |
Dodecagon |
15 |
Pentadecagonul |
20 |
Icosagon |
Rețineți că nu este necesar să decorați masa, ci să o înțelegeți. Cu excepția triunghiului și a patrulaterului, formarea cuvântului este:
Numărul de laturi + gono
De exemplu, când avem poligonul lui cinci laturi, amintiți-vă automat prefixul penta plus sufixul gono: Pentagon.
Exemplu
Determinați numele următorului poligon:
clasificarea poligonului
Poligoanele sunt clasificate după măsura unghiurilor tale și laturile. Se spune că un poligon este echilateral atunci când are laturi congruente, adică toate laturile sunt egale; și se va spune echiangle atunci când are unghiuri congruente, adică toate unghiuri egale.
Dacă un poligon este echilateral și egal, atunci va fi a poligon regulat.
În fiecare poligon regulat, centrul este la aceeași distanță față de laturi, adică este echidistant de laturi. Centrul poligonului este, de asemenea, centrul cercului înscris în poligon, adică circumferinţă care este „în interiorul” circumferinței.
Citeste mai mult: Asemănarea poligonului: vedeți care sunt condițiile
Suma unghiurilor interne ale unui poligon
Fieeu un unghi interior al unui poligon regulat n-lat, vom reprezenta suma acestor unghiuri interioare cu Seu.
Astfel, suma unghiurilor interne este dată de:
seu = (n - 2) · 180 °
Pentru a calcula valoarea fiecărui unghi interior, luați suma unghiurilor interioare și împărțiți la numărul de laturi, adică:
eu = seu
Nu
Exemplu 1
Găsiți suma unghiurilor interioare și apoi măsura fiecărui unghi interior al unui icosagon.
Știm că un icosagon are douăzeci de laturi, deci n = 20. Înlocuind în relații, avem:
seu = (n - 2) · 180 °
seu = (20 - 2) · 180°
seu = 18 · 180°
seu = 3240°
Acum, pentru a determina valoarea fiecărui unghi intern, împărțiți doar valoarea găsită la numărul de laturi:
eu = 3240°
20
eu = 162°
Exemplu 2
Suma unghiurilor interioare ale unui poligon regulat este de 720 °, găsiți poligonul.
Înlocuind informațiile de declarație din formulă, avem:
720 ° = (n - 2) · 180 °
720 ° = 180n - 360 °
180n = 720 ° + 360 °
180n = 1080 °
n = 1080°
180°
n = 6 laturi
Astfel, poligonul dorit este hexagonul.
Suma unghiurilor exterioare ale unui poligon
Suma unghiurilor exterioare ale unui poligon este întotdeauna egal cu 360 °.
sși = 360°
și = sși
Nu
și = 360°
Nu
Diagonale poligonale
Luați în considerare un poligon cu față n. Pentru a determina numărul de diagonale (d), folosim următoarea relație:
d = n · (n - 3)
2
Exemplu
Determinați numărul de diagonale dintr-un pentagon și graficați-le.
Știm că un pentagon are cinci laturi, deci n = 5. Înlocuind expresia, trebuie să:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Aria și perimetrul poligonelor
O perimetru de poligoane este definit de suma din toate părțile. Aria unui poligon se calculează împărțind poligonul în figuri care sunt mai ușor de calculat aria, cum ar fi triunghiul și pătratul.
THEΔ = bază · înălțime
2
THEpătrat = bază · înălțime
Exemplu
Determinați o expresie matematică care reprezintă aria unui hexagon regulat.
Soluţie:
Inițial, luați în considerare un hexagon regulat și toate segmentele de linie dreaptă care conectează centrul poligonului la fiecare vârf. Prin urmare:
Rețineți că, datorită faptului că hexagonul este regulat, atunci când îl împărțim, găsim șase triunghiuri echilaterale, deci aria hexagonului este de șase ori aria triunghiului echilateral, adică:
THEhexagon = 6 · AΔ
THEhexagon = 6 · l2 · √3
4
THEhexagon = 3 · l2 · √3
2
THEhexagon = 3 · l2·√3
2
Citește și:aria triunghiului echilateral
Exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (Enem) Un bazin are forma unui poligon regulat al cărui unghi intern este de trei ori și jumătate față de unghiul extern. Care este suma unghiurilor interioare ale poligonului a căror formă este aceeași cu această piscină?
a) 1800 °
b) 1620th
c) 1440 °
d) 1260 °
e) 1080 °
Soluţie
Deoarece nu cunoaștem numărul laturilor poligonului, să ne imaginăm doar unul dintre vârfurile acestui poligon.
Din imagine putem vedea că:
eu +și = 180 ° (I)
Din afirmație avem:
eu = 3,5 · ași (II)
Înlocuind ecuația (II) în ecuația (I), va trebui să:
3.5 · ași +și = 180°
4,5 · ași = 180°
și = 180°
4,5
și = 40°
Cu toate acestea, știm că un unghi interior este împărțirea 360 ° la numărul de laturi ale poligonului. Prin urmare:
și = 360°
Nu
40° = 360°
Nu
40n = 360 °
n = 360°
40°
n = 9
Prin urmare, suma unghiurilor interne ale bazinului este:
seu = (n - 2) · 180 °
seu = (9 - 2) · 180°
seu = 7 · 180°
seu = 1260°
de Robson Luiz
Profesor de matematică