La operatii cu seturi sunt unire, intersecție și diferență. Rezultatul fiecăreia dintre aceste operații este un set nou. Pentru a indica uniunea dintre mulțimi, folosim simbolul ∪; pentru intersecție, simbolul ∩; iar pentru diferență, simbolul de scădere\(-\). În cazul unei diferențe, este esențial să se respecte ordinea în care va fi efectuată operația. Cu alte cuvinte, dacă A și B sunt mulțimi, atunci diferența dintre A și B este diferită de diferența dintre B și A.
Citeste si: Diagrama Venn — reprezentarea geometrică a mulțimilor și operațiile dintre ele
Rezumatul operatiilor cu multimi
Operațiile cu mulțimi sunt: unire, intersecție și diferență.
Unirea (sau întâlnirea) mulțimilor A și B este mulțimea A ∪ B, formată din elementele care aparțin lui A sau aparțin lui B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ sau\ x∈B\}\)
Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea A ∩ B, formată din elementele care aparțin lui A și aparțin lui B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ și\ x∈B\}\)
Diferența dintre mulțimile A și B este mulțimea A – B, formată din elementele care aparțin lui A și nu aparțin lui B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Dacă U (cunoscută sub numele de mulțimea universului) este o mulțime care conține toate mulțimile într-un context dat, atunci diferența U – A, cu A ⊂ U, se numește complementul lui A. Complementul lui A este format din elemente care nu aparțin lui A și este reprezentat de Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Lecție video despre operațiuni cu decoruri
Care sunt cele trei operații cu seturi?
Cele trei operațiuni cu seturi sunt: unire, intersecție și diferență.
Unirea seturi
Unirea (sau întâlnirea) mulțimilor A și B este mulțimea A ∪ B (a se citi „Unirea B”). Această mulțime este formată din toate elementele care aparțin mulțimii A sau aparțin mulțimii B, adică elemente care aparțin cel puțin unuia dintre mulțimi.
Reprezentând elementele lui A ∪ B prin x, scriem
\(A∪B=\{x; x∈A\ sau\ x∈B\}\)
În imaginea de mai jos, regiunea portocalie este a stabilit A ∪B.
Pare dificil? Să ne uităm la două exemple!
Exemplul 1:
Care este mulțimea A ∪ B, dacă A = {7, 8} și B = {12, 15}?
Mulțimea A ∪ B este formată din elementele care aparțin lui A sau aparțin lui B. Deoarece elementele 7 și 8 aparțin mulțimii A, atunci ambele trebuie să aparțină mulțimii A ∪ B. În plus, deoarece elementele 12 și 15 aparțin mulțimii B, atunci ambele trebuie să aparțină mulțimii A ∪ B.
Prin urmare,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Rețineți că fiecare dintre elementele lui A∪B aparține fie mulțimii A, fie mulțimii B.
Exemplul 2:
Se consideră mulțimile A = {2, 5, 9} și B = {1, 9}. Care este mulțimea A ∪ B?
Deoarece elementele 2, 5 și 9 aparțin mulțimii A, atunci toate trebuie să aparțină mulțimii A∪B. În plus, deoarece elementele 1 și 9 aparțin mulțimii B, atunci ele trebuie să aparțină tuturor mulțimii A ∪ B.
Rețineți că am menționat de două ori 9, deoarece acest element aparține mulțimii A și mulțimii B. Spunând că „mulțimea A ∪ B este formată din elementele care aparțin lui A sau aparțin lui B” nu exclude elementele care aparțin simultan mulțimilor A și B.
Deci, în acest exemplu, avem
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Rețineți că scriem elementul 9 o singură dată.
Intersecția mulțimilor
Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea A ∩ B (a se citi „Intersecția B”). Această mulțime este formată din toate elementele care aparțin mulțimii A Este aparțin setului B. Cu alte cuvinte, A ∩ B este compus din elementele comune ale mulțimilor A și B.
Indicând elementele lui A ∩ B prin x, scriem
\(A∩B=\{x; x∈A\ și\ x∈B\}\)
În imaginea de mai jos, regiunea portocalie este a stabilit A ∩B.
Să rezolvăm două exemple despre intersecția mulțimilor!
Exemplul 1:
Se consideră A = {-1, 6, 13} și B = {0, 1, 6, 13}. Care este mulțimea A ∩ B?
Mulțimea A ∩ B este formată din toate elementele care aparțin mulțimii A Este aparțin setului B. Rețineți că elementele 6 și 13 aparțin simultan mulțimilor A și B.
Ca aceasta,
A ∩ B={6, 13}
Exemplul 2:
Care este intersecția dintre mulțimile A = {0,4} și \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Rețineți că nu există niciun element comun între mulțimile A și B. Astfel, intersecția este o mulțime fără elemente, adică o mulțime goală.
Prin urmare,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Diferența între seturi
Diferența dintre seturile A și B este setul A – B (a se citi „diferența dintre A și B”). Acest set este format din toate elementele care aparțin mulțimii A și nu aparțin mulțimii B.
Reprezentând elementele lui A – B prin x, scriem
\(A-B=\{x; x∈A\ și\ x∉B\}\)
În imaginea de mai jos, regiunea portocalie este setA – B.
Atenţie: diferența dintre mulțimile A și B nu este diferența dintre mulțimile B și A, deoarece B – A este format din toate elementele care aparțin mulțimii B și nu aparțin mulțimii A.
Luați în considerare cele două exemple de mai jos despre diferența dintre seturi.
Exemplul 1:
Dacă A = {-7, 2, 100} și B = {2, 50}, atunci care este mulțimea A – B? Dar setul B – A?
DecorulA-B este formată din toate elementele care aparțin mulțimii A EsteNu aparțin setului B. Rețineți că 2 este singurul element din mulțimea A care aparține și mulțimii B. Astfel, 2 nu aparține mulțimii A – B.
Prin urmare,
A – B = {-7, 100}
În plus, mulțimea B – A este formată din toate elementele care aparțin mulțimii B EsteNu aparțin setului A. Prin urmare,
B – A = {50}
Exemplul 2:
Care este diferența dintre mulțimea A = {–4, 0} și mulțimea B = {–3}?
Rețineți că niciunul dintre elementele lui A nu aparține lui B. Astfel, diferența A – B este mulțimea A în sine.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Observare: Luați în considerare că U (numită multimea universului) este o mulțime care conține toate celelalte mulțimi dintr-o situație dată. Ca aceasta, diferența U–A, cu A⊂U, este o mulțime numită complementară lui A și portretizat ca \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
În imaginea următoare, dreptunghiul este setul universului, iar regiunea portocalie este setul universului \(B.C\).
Aflați mai multe: Pas cu pas cum se face o diviziune
Exerciții rezolvate pe operații la set
Intrebarea 1
Luați în considerare mulțimile A = {–12, –5, 3} și B = {–10, 0, 3, 7} și clasificați fiecare afirmație de mai jos ca T (adevărat) sau F (fals).
eu. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Ordinea corectă, de sus în jos, este
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Rezoluţie
eu. Fals.
Elementul 0 trebuie să aparțină uniunii dintre A și B, deoarece 0 ∈ B. Astfel, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Adevărat.
III. Adevărat.
Alternativa B.
intrebarea 2
Se consideră A = {4, 5}, B = {6,7} și C = {7,8}. Apoi, mulțimea A ∪ B ∩ C este
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Rezoluţie
Rețineți că A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Prin urmare, mulțimea A ∪ B ∩ C este intersecția dintre A ∪ B = {4, 5, 6, 7} și C = {7,8}. Curând,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativa A.
Surse
LIMA, Elon L.. Curs de analiză. 7 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Matematică de liceu. 11. ed. Colecția Profesor de Matematică. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
