A succesiune de numere este un set de numere organizate ordonat. Secvența numerică poate fi asamblată folosind diferite criterii - de exemplu, succesiunea de numere pare sau succesiunea de multipli de 3. Când putem descrie acest criteriu cu o formulă, numim această formulă legea de formare a succesiunii numerice.
Citeste si: Diferențele dintre număr, număr și cifră
Rezumat despre succesiunea numerică
Secvența de numere este o listă de numere aranjate în ordine.
Succesiunea numerică poate urma diferite criterii.
Legea de apariție a șirului numeric este lista de elemente care există în succesiune.
Secvența poate fi clasificată în două moduri. Unul ține cont de numărul de elemente, iar celălalt ține cont de comportament.
În ceea ce privește numărul de elemente, succesiunea poate fi finită sau infinită.
În ceea ce privește comportamentul, succesiunea poate fi crescătoare, constantă, descrescătoare sau oscilantă.
Când secvența numerică poate fi descrisă printr-o ecuație, această ecuație este cunoscută ca legea de formare a secvenței numerice.
Ce sunt secvențele?
Secvențele sunt seturi de elemente dispuse într-o anumită ordine. În viața noastră de zi cu zi, putem percepe mai multe situații care implică secvențe:
Secvența lunilor: ianuarie, februarie, martie, aprilie,..., decembrie.
Secvența de ani ai primelor 5 Cupe Mondiale ale secolului XXI: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Există mai multe alte secvențe posibile, cum ar fi secvența de nume sau secvența de vârstă. Ori de câte ori există o ordine stabilită, există o secvență.
Fiecare element al unei secvențe este cunoscut ca termen al secvenței, deci într-o secvență există primul termen, al doilea termen și așa mai departe. În general, o succesiune poate fi reprezentată prin:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(la 1\) → primul termen.
\(a_2\) → al doilea termen.
\(a_3\) → al treilea termen.
\(un\) → orice termen.
Legea apariției șirului numeric
Putem avea secvențe de diferite elemente, cum ar fi luni, nume, zile ale săptămânii, printre altele. Asecvența este o succesiune numerică atunci când implică numere. Putem forma șirul de numere pare, numere impare, numere prime, multipli de 5 etc.
Secvența este reprezentată folosind o lege de apariție. Legea apariției nu este altceva decât lista de elemente ale șirului numeric.
Exemple:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → succesiune de numere impare de la 1 la 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → succesiune de numere care sunt multipli ai lui 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → secvență alternativă între 1 și -1.
Care este clasificarea succesiunii numerice?
Putem clasifica secvențele în două moduri diferite. Unul dintre ele ține cont de numărul de elemente, iar celălalt ține cont de comportamentul acestor elemente.
→ Clasificarea succesiunii numerice în funcție de numărul de elemente
Când clasificăm șirul după numărul de elemente, există două clasificări posibile: șirul finit și succesiunea infinită.
◦ Secvență de numere finite
O secvență este finită dacă are un număr limitat de elemente.
Exemple:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Secvență infinită de numere
O secvență este infinită dacă are un număr nelimitat de elemente.
Exemple:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Clasificarea secvenței numerice în funcție de comportamentul șirului
Cealaltă modalitate de clasificare este după comportamentul secvenței. În acest caz, succesiunea poate fi crescătoare, constantă, oscilantă sau descrescătoare.
◦ Secvență de numere crescătoare
Secvența crește dacă un termen este întotdeauna mai mare decât predecesorul său.
Exemple:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Secvență de numere constantă
Secvența este constantă când toți termenii au aceeași valoare.
Exemple:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Secvență de numere descendentă
Secvența este în scădere dacă termenii din secvență sunt întotdeauna mai mici decât predecesorii lor.
Exemple:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Secvență de numere oscilante
Secvența este oscilantă dacă există termeni mai mari decât predecesorii lor și termeni mai mici decât predecesorii lor alternativ.
Exemple:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Legea de formare a succesiunii numerice
În unele cazuri, este posibil să se descrie secvența folosind o formulă, cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna posibil. De exemplu, succesiunea numerelor prime este o succesiune bine definită, totuși nu o putem descrie folosind o formulă. Cunoscând formula, am putut construi legea de apariție a șirului numeric.
Exemplul 1:
Secvență de numere pare mai mare decât zero.
\(a_n=2n\)
Rețineți că atunci când înlocuiți n pentru un numar natural (1, 2, 3, 4, ...), vom găsi un număr par:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Deci, avem o formulă care generează termenii șirului format din numere pare mai mari decât zero:
(2, 4, 6, 8, ...)
Exemplul 2:
Succesiunea numerelor naturale mai mare decat 4.
\(a_n=4+n\)
Calculând termenii șirului avem:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Scrierea legii apariției:
(5, 6, 7, 8,…)
Vezi si: Progresia aritmetică — un caz special de succesiune numerică
Exerciții rezolvate pe succesiune numerică
Intrebarea 1
O succesiune numerică are o lege de formare egală cu \(a_n=n^2+1\). Analizând această secvență, putem afirma că valoarea celui de-al 5-lea termen al secvenței va fi:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Rezoluţie:
Alternativa E
Calculând valoarea celui de-al 5-lea termen al șirului, avem:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
intrebarea 2
Analizați următoarele secvențe numerice:
eu. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Putem afirma că secvențele I, II și III sunt clasificate, respectiv:
A) crescător, oscilant și descrescător.
B) descrescător, crescător și oscilant.
C) oscilant, constant și crescător.
D) descrescător, oscilant și constant.
E) oscilante, descrescătoare și crescătoare.
Rezoluţie:
Alternativa C
Analizând secvențele, putem afirma că:
eu. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Este oscilant, deoarece există termeni mai mari decât predecesorii lor și termeni mai mici decât predecesorii lor.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Este constantă, deoarece termenii șirului sunt întotdeauna aceiași.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Este în creștere, deoarece termenii sunt întotdeauna mai mari decât predecesorii lor.
