Exersează pe ecuațiile liniei cu exercițiile rezolvate și comentate, clarifică-ți îndoielile și fii pregătit pentru evaluări și examene de admitere.
Ecuațiile de linii aparțin domeniului matematicii numit geometrie analitică. Acest domeniu de studiu descrie puncte, linii și forme în plan și în spațiu, prin ecuații și relații.
Panta dreptei care trece prin punctele A (0.2) și B (2.0) este
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
e) 3
Calculați valoarea lui t, știind că punctele A (0, 1), B (3, t) și C (2, 1) sunt coliniare.
la 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Condiția de aliniere în trei puncte spune că determinantul matricei este egal cu zero.
După regula Sarrus:
0.t.1 + 1.1.2 + 1.3.1 - (2.t.1 + 1.1.0 + 1.3.1) = 0
0 + 2 + 3 - (2t + 0 + 3) = 0
5 - 2t - 3 = 0
2 = 2t
t = 1
Coeficienții, unghiulari și liniari, ai dreptei x - y + 2 = 0 sunt, respectiv,
a) Coeficient unghiular = 2 și coeficient liniar = 2
b) Coeficient unghiular = -1 și coeficient liniar = 2
c) Coeficientul unghiular = -1 și coeficientul liniar = -2
d) Coeficient unghiular = 1 și coeficient liniar = 2
e) Coeficient unghiular = 2 și coeficient liniar = 2
Scriind ecuația în formă redusă, avem:
Panta este numărul care înmulțește x, deci este 1.
Coeficientul liniar este termenul independent, deci este 2.
Obține ecuația dreptei care are graficul de mai jos.
a) x + y - 6 = 0
b) 3x + 2y - 3 = 0
c) 2x + 3y - 2 = 0
d) x + y - 3 = 0
e) 2x + 3y - 6 = 0
Punctele în care linia taie axele sunt (0, 2) și (3, 0).
Folosind forma parametrică:
Întrucât opțiunile de răspuns sunt în formă generală, trebuie să realizăm suma.
Calculați cel mai mic multiplu comun pentru a egala numitorii.
MMC(3, 2) = 6
Aflați coordonatele punctului de intersecție dintre dreapta r: x + y - 3 = 0 și dreapta care trece prin punctele A(2, 3) și B(1, 2).
a) (3, 2)
b) (2, 2)
c) (1, 3)
d) (2, 1)
e) (3, 1)
Determinați dreapta care trece prin punctele A și B.
Calculul coeficientului unghiular:
Deci linia este:
Punctul de intersecție este soluția sistemului:
Adăugarea ecuațiilor:
Inlocuind in prima ecuatie:
Deci coordonatele punctului în care se intersectează liniile sunt (2, 1)
(PUC - RS) Linia dreaptă r a ecuației y = ax + b trece prin punctul (0, –1), iar, pentru fiecare unitate de variație a lui x, există o variație în y, în aceeași direcție, a 7 unitati. Ecuația ta este
a) y = 7x – 1.
b) y = 7x + 1.
c) y = x – 7.
d) y = x + 7.
e) y = –7x – 1.
O modificare de 1 în x determină o schimbare de 7 în y. Aceasta este definiția pantei. Prin urmare, ecuația trebuie să aibă forma:
y = 7x + b
Deoarece punctul (0, -1) aparține dreptei, îl putem înlocui în ecuație.
În acest fel, ecuația este:
(IF-RS 2017) Ecuația dreptei care trece prin punctele A(0,2) și B(2, -2) este
a) y = 2x + 2
b) y = -2x -2
c) y = x
d) y = -x +2
e) y = -2x + 2
Folosind ecuația redusă și coordonatele punctului A:
Folosind coordonatele punctului B și înlocuind valoarea lui b = 2:
Configurarea ecuației:
(UNEMAT 2017) Fie r o dreaptă cu ecuația r: 3x + 2y = 20. O linie s o intersectează în punctul (2,7). Știind că r și s sunt perpendiculare unul pe celălalt, care este ecuația dreptei s?
a) 2x − 3y = −17
b) 2x − 3y = −10
c) 3x + 2y = 17
d) 2x − 3y = 10
e) 2x + 3y = 10
Deoarece dreptele sunt perpendiculare, pantele lor sunt:
Pentru a determina panta lui r, schimbăm ecuația din formă generală în formă redusă.
Panta este numărul care înmulțește x, fiind -3/2.
Aflarea coeficientului dreptei s:
Pe măsură ce liniile se intersectează în punctul (2, 7), înlocuim aceste valori în ecuația dreptei s.
Stabilirea ecuației reduse a dreptei s:
Deoarece alegerile de răspuns sunt în formă generală, trebuie să facem conversie.
(Enem 2011) Un programator vizual dorește să modifice o imagine, mărindu-i lungimea și menținându-i lățimea. Figurile 1 și 2 reprezintă, respectiv, imaginea originală și cea transformată prin dublarea lungimii.
Pentru a modela toate posibilitățile de transformare pe lungimea acestei imagini, programatorul trebuie să descopere modele ale tuturor liniilor care conțin segmentele care conturează ochii, nasul și gura și apoi elaborează program.
În exemplul anterior, segmentul A1B1 din figura 1, conținut în linia r1, a devenit segmentul A2B2 din figura 2, conținut în linia r2.
Să presupunem că, păstrând constantă lățimea imaginii, lungimea acesteia este înmulțită cu n, unde n este un număr întreg și pozitiv, și că, în acest fel, linia r1 suferă aceleași transformări. În aceste condiții, segmentul AnBn va fi conținut în linia rn .
Ecuația algebrică care descrie rn, în planul cartezian, este
a) x + ny = 3n.
b) x - ny = - n.
c) x - ny = 3n.
d) nx + ny = 3n.
e) nx + 2ny = 6n.
Găsirea dreptei r1 în figura originală:
Coeficientul său unghiular este:
Linia taie axa y în punctul (0, 3), deci ecuația sa este:
Găsirea dreptei r2 în figura modificată:
Coeficientul său unghiular este:
Linia taie, de asemenea, axa y în punctul (0, 3), deci ecuația sa este:
De la ecuația figurii originale la cea modificată, coeficientul lui y și termenul independent au fost înmulțite cu 2.
Deci, pentru alte proporții:
