Este cunoscut sub numele de Numar rational fiecare număr care poate fi reprezentat ca o fracțiune ireductibilă. De-a lungul istoriei umane, ideea numărului a fost dezvoltată treptat în conformitate cu nevoile umane. Reprezentarea numerelor în fracții, de exemplu, a rezolvat probleme care au fost rezolvate numai cu numere întregi.
Un număr rațional poate fi reprezentat dintr-o fracție, deci există metode de transformare a numerelor întregi, numere zecimale zecimale exacte și periodice în fracții.
Citește și: Operații cu fracții - cum se rezolvă?
Ce sunt numerele raționale?
Numerele raționale sunt o extindere a setului de numere întregi, apoi, pe lângă numerele întregi, au fost adăugate toate fracțiunile. O a stabilit al numerelor raționale este reprezentat de:
Ceea ce spune această reprezentare este că un număr este rațional dacă poate fi reprezentat ca fracție despre B, astfel încât este un număr întreg și B este un număr întreg diferit de zero. Dar dacă trebuie să definim numerele raționale mai puțin riguros, putem spune următoarele:
Numerele raționale sunt toate numerele care pot fi reprezentate ca o fracție. |
Respectați această definiție:
tu numere întregis, de exemplu: -10, 7, 0;
tu numere zecimale exacte, de exemplu: 1,25; 0,1; 3,1415;
la zecimi periodice simple, de exemplu: 1.424242 ...;
la zecimi periodice compuse, de exemplu: 1.0288888 ...
Nu sunt numere raționale:
La zecimi neperiodice, de exemplu: 4.1239489201 ...;
La rădăcininu exact, de exemplu:
;- THE broascăeuz pătrat de numere negative, de exemplu:
.
Observare: Existența numerelor non-raționale face să apară alte seturi, cum ar fi numerele iraționale și numere complexe.
Reprezentarea numerelor raționale
Înțelegând că fracția este a Divizia a două numere întregi, pentru a fi un număr rațional, puteți reprezenta acest număr ca o fracție. Prin urmare, fiecare dintre cazurile menționate mai sus ca numere raționale (numere întregi, zecimale exacte și zecimale periodice) poate fi reprezentat ca o fracție.
numere întregi
Există infinite posibilități pentru a reprezenta un număr întreg ca o fracție, deoarece o fracție poate fi reprezentată sau nu într-o formă ireductibilă.
Exemple:
zecimale exacte
Pentru a transforma un număr zecimal exact într-un fracțiune, numărăm numărul de numere din partea sa zecimală, adică după punctul zecimal. Dacă există un număr după virgulă, vom scrie partea întreagă plus partea zecimală fără virgulă peste 10. Dacă există două numere în partea zecimală peste 100, în practică, cantitatea de numere din partea zecimală va fi cantitatea de zerouri pe care o avem în numitor. Vezi exemplul:
zecimi periodice
Găsirea reprezentării fracționate a unei zecimi nu este întotdeauna o sarcină ușoară, ceea ce numim noi generând fracțiune. Pentru a facilita această lucrare, s-a observat că, în ecuația pe care am folosit-o pentru a găsi fracția generatoare, există regularități, care au permis dezvoltarea unei metode practice.
În primul rând, trebuie să înțelegem că există două tipuri de zecimi periodice, simple și compuse. unu zecimea este simplă dacă, în partea sa zecimală, există doar partea care se repetă, adică perioada. unu zecimea este compusă dacă, în partea sa zecimală, există o parte neperiodică.
Exemplu:
9,323232... → zecimal periodic periodic
Partea întreagă este egală cu 9.
Perioada este egală cu 32.
8,7151515… → zeciuială periodică compusă
Partea întreagă este egală cu 8.
Partea zecimală non-periodică este egală cu 7.
Perioada este egală cu 15.
Vezi și: Fracții echivalente - fracții care reprezintă aceeași cantitate
→ Primul caz: generând fracția unei zecimale periodice simple
În primul caz, la transformă o zecimală periodică simplă într-o fracție prin metoda practică, trebuie doar să scrieți întreaga parte plus perioada fără virgulă în numerator. În numitor, pentru fiecare element din partea periodică, adăugăm un 9.
Exemplu:
Fracția generatoare de 9.323232..., așa cum am văzut, are o perioadă egală cu 32, adică două numere în perioada sa, deci numitorul este 99. Partea întreagă plus partea periodică fără virgulă este 932, care este numeratorul. Deci, fracția generatoare a acestei zecimi este:
→ Al doilea caz: generarea fracției dintr-o zecimală periodică compusă
Zecimea compusă periodic este puțin mai laborioasă. Să găsim fracția generatoare a zecimii la care am lucrat în exemplu.
8,7151515... → zecimal periodic compus.
Partea întreagă este egală cu 8.
Partea zecimală non-periodică este egală cu 7.
Partea zecimală a perioadei este egală cu 15.
Numeratorul va fi scădere 8715 - 87, adică diferența dintre numărul care merge de la întreaga parte la partea periodică cu partea care nu se repetă a zecimii.
Numeratorul va fi egal cu 8715 - 87 = 8628.
Pentru a găsi numitorul, să analizăm partea zecimală. Mai întâi să ne uităm la partea zecimală non-periodică și periodică. În acest caz, partea zecimală a numărului este 715. Pentru fiecare număr care se află în partea periodică, să adăugăm un 9 la începutul numitorului. Deoarece partea periodică în acest caz are două numere (15), vor fi două 9 în numitor. Pentru fiecare număr din partea zecimală care nu este periodic, vom adăuga un 0 la sfârșitul numitorului, care va fi 990.
În curând, generând fracțiune al zecimii va fi:
Proprietățile numerelor raționale
Între două numere raționale, va exista întotdeauna un alt număr rațional
Este interesant să ne gândim la această proprietate, care a fost mult discutată de popoarele antice, devenind un paradox. Alegând două numere raționale, va exista întotdeauna un număr între ele.
Exemplu:
Între 1 și 2, există 1,5; între 1 și 1,5, există 1,25; între 1 și 1.25, există 1.125 și așa mai departe. Oricât aleg două numere raționale cu foarte puține diferențe între ele, este întotdeauna posibil să găsim un număr rațional între ele. Această proprietate face imposibil de definit succesorul și predecesorul în numere raționale.
Cele patru operații pe mulțimea numerelor raționale sunt închise
Spunem că setul este închis pentru sumă, de exemplu, dacă suma a două numere raționale generează întotdeauna un alt număr rațional ca răspuns. Așa se întâmplă cu cele patru operații pe Q.
THE adunare, scădere, divizare și multiplicare între două numere raționale va rezulta întotdeauna un număr rațional. De fapt, chiar și potențare a unui număr rațional va genera întotdeauna un număr rațional ca răspuns.
Ansamblul numerelor raționale nu este închis pentru radiatie. Prin urmare, mdeoarece 2 este un număr rațional, rădăcina pătrată a lui 2 este a număr irațional.
Vezi și: Fracții echivalente - fracții care reprezintă aceeași cantitate
Subseturi de numere raționale
Știm cum subseturi sau relație de incluziune mulțimile formate din elemente care aparțin mulțimii numerelor raționale. Există mai multe subseturi posibile, ca set de numere întregi sau natural, deoarece fiecare număr întreg este rațional, la fel ca orice număr natural este rațional.
Exemplu:
Set de numere întregi: Z = {… -3, -2, -1, 0.1, 2, 3, ...}.
Când se întâmplă asta, spunem asta Z ⸦ Q (Se citește: Z este conținut în Q sau setul de numere întregi este cuprins în setul de numere raționale.)
Există câteva simboluri care sunt esențiale pentru crearea subseturilor de Q, acestea sunt: +, - și *, care înseamnă, respectiv, pozitiv, negativ și non-nul.
Exemple:
Q * → (citește: set de numere raționale diferite de zero.)
Î+ → (citește: set de numere raționale pozitive.)
Î- → (citește: set de numere raționale negative.)
Î*+ → (citește: set de numere raționale pozitive și diferite de zero.)
Î*- → (citește: set de numere raționale negative și diferite de zero.)
Rețineți că toate aceste seturi sunt subseturi de Q, deoarece toate elementele aparțin setului de numere raționale. Pe lângă seturile prezentate, putem lucra cu mai multe subseturi în Q, cum ar fi setul format din numere impare sau veri, sau perechi, în cele din urmă, există mai multe și mai multe posibilități de subseturi.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
