suma si produsul Este o metodă folosită pentru a găsi soluțiile a ecuaţie. Folosim suma și produsul ca metodă pentru a calcula rădăcinile lui a ecuația de gradul 2, de tipul ax² + bx + c = 0.
Aceasta este o metodă interesantă atunci când soluțiile ecuației sunt numere întregi. În cazurile în care soluțiile nu sunt numere întregi, poate fi destul de complicat să folosiți suma și produsul, cu alte metode mai ușoare de a găsi soluțiile ecuației.
Citeste si: Bhaskara — cea mai cunoscută formulă pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice
Rezumat despre sumă și produs
- Suma și produsul este una dintre metodele utilizate pentru a găsi soluțiile unei ecuații pătratice complete.
- Prin suma și produs, având în vedere ecuația gradului 2 ax² + bx + c = 0, avem:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- X1 Este X2 sunt soluțiile ecuației pătratice.
- a, b și c sunt coeficienții ecuației de gradul 2.
Ce este suma și produsul?
Suma și produsul este una dintre metodele pe care le putem folosi pentru a găsi soluțiile unei ecuații
. Folosite în ecuațiile de gradul 2, suma și produsul pot fi o metodă mai practică de a găsi soluțiile ecuație, deoarece constă în căutarea numerelor care satisfac formula sumei și produsului pentru un dat ecuaţie.Suma și formula produsului
Într-o ecuație pătratică, de tipul ax² + bx + c = 0, cu soluții egale cu x1 și x2, după sumă și produs, avem:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Cum se calculează rădăcinile folosind suma și produsul?
Pentru a găsi soluțiile, căutăm mai întâi numerele întregi al căror produs este egal cu \(\frac{c}{a}\).
Știm că soluțiile ecuației pot fi pozitive sau negative:
- Produs pozitiv și sumă pozitivă: ambele rădăcini sunt pozitive.
- Produs pozitiv și sumă negativă: ambele rădăcini sunt negative.
- Produs negativ și sumă pozitivă: o rădăcină este pozitivă și cealaltă este negativă, iar cea cu cel mai mare modul este pozitivă.
- Produs negativ și sumă negativă: o rădăcină este pozitivă și cealaltă este negativă, iar cea cu cel mai mare modul este negativă.
Ulterior, după enumerarea tuturor produselor care satisfac ecuația, analizăm care dintre ele satisface ecuația. ecuația sumei, adică care sunt cele două numere care satisfac ecuația produsului și a sumei simultan.
Exemplul 1:
Aflați soluțiile ecuației:
\(x²-5x+6=0\)
La început, vom înlocui în formula sumă și produs. Avem că a = 1, b = -5 și c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Deoarece suma și produsul sunt pozitive, rădăcinile sunt pozitive. Analizând produsul, știm că:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Acum, vom verifica care dintre aceste rezultate are o sumă egală cu 5, care în acest caz este:
\(2+3=5\)
Deci, soluțiile acestei ecuații sunt \(x_1=2\ și\ x_2=3\).
Exemplul 2:
Aflați soluțiile ecuației:
\(x^2+2x-24=0\ \)
În primul rând, vom înlocui în formula sumă și produs. Avem a = 1, b = 2 și c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Deoarece suma și produsul sunt negative, rădăcinile sunt de semne opuse, iar cea cu modul cel mai mare este negativă. Analizând produsul, știm că:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Acum, să verificăm care dintre aceste rezultate are o sumă egală -2, care în acest caz este:
\(4+\stanga(-6\dreapta)=-2\)
Deci, soluțiile acestei ecuații sunt \(x_1=4\ și\ x_2=-6\) .
Citeste si: Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă
Exercitii rezolvate pe suma si produs
intrebarea 1
fi y Este z rădăcinile ecuației 4X2-3X-1=0, valoarea lui 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Rezoluţie:
Alternativa A
Calculul după sumă și produs:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Deci, trebuie să:
\(4\stanga (y+4\dreapta)\stanga (z+4\dreapta)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\stânga (y+4\dreapta)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ dreapta)\)
\(4\stanga (y+4\dreapta)\stanga (z+4\dreapta)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\dreapta)\)
\(4\stanga (y+4\dreapta)\stanga (z+4\dreapta)=4\left(-\frac{1}{4}+19\dreapta)\)
\(4\stanga (y+4\dreapta)\stanga (z+4\dreapta)=4\left(\frac{76-1}{4}\dreapta)\)
\(4\stanga (y+4\dreapta)\stanga (z+4\dreapta)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\stânga (y+4\dreapta)\stanga (z+4\dreapta)=75\)
intrebarea 2
Având în vedere ecuația 2X2 + 8x + 6 = 0, fie S suma rădăcinilor acestei ecuații și P produsul rădăcinilor ecuației, apoi valoarea operației (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Rezoluţie:
Alternativa B
Calculul după sumă și produs:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Deci, trebuie să:
\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
