calculează factorial unui număr are sens numai atunci când lucrăm cu numere naturale. Această operație este destul de comună în analiza combinatorie, facilitând calculul aranjamentelor, permutărilor, combinațiilor și altor probleme care implică numărarea. Factorialul este reprezentat de simbolul „!”. O definim ca n! (n factorial) la multiplicarea lui n cu toți predecesorii săi până ajungi la 1. Nu! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Citește și: Principiul fundamental al numărării - conceptul principal al analizei combinatorii
Ce este factorial?
Factorialul este o operație foarte importantă pentru studiul și dezvoltarea analizei combinatorii. În matematică, numărul urmat de simbolul exclamării (!) este cunoscut ca factorial, de exemplu x! (x factorial).
Știm ca factorial al unui numar natural înmulțind acest număr cu predecesorii săi, cu excepția zero, adică:
Nu! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Este de remarcat faptul că, pentru ca această operațiune să aibă sens, n este un număr natural, adică nu calculăm factorialul unui număr negativ, sau chiar al unui număr zecimal sau al fracțiilor.
calcul factorial
Pentru a găsi factorialul unui număr, calculați produsul. De asemenea, rețineți că factorialul este o operație care, atunci când crește valoarea lui n, rezultatul va crește și foarte mult.
Exemple:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Prin definiție, avem:
0! = 1
1! = 1
Operații factoriale
Pentru a rezolva operațiuni factoriale, este important să aveți grijă să nu faceți greșeli. Când vom adăuga, scădea sau înmulți doi factori, este necesar să calculăm fiecare dintre ei separat. Numai divizia are modalități specifice de a realiza simplificări. Nu faceți greșeala de a efectua operația și de a păstra factorialul, fie pentru adunare și scădere, fie pentru multiplicare.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Când rezolvăm oricare dintre aceste operații, trebuie să calculăm fiecare dintre factorialele.
Exemple:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Vezi și: Cum se rezolvă ecuația cu factorială?
Simplificare factorială
Diviziunile sunt destul de recurente. În formulele de combinaţie, aranjament și permutare cu repetare, vom recurge întotdeauna la simplificare pentru a rezolva problemele care implică factoriale. Pentru asta, să urmăm câțiva pași.
Exemplu:
Primul pas: identificați cel mai mare factorial - în acest caz, este 8!
Factorialul unui număr n, adică n!, poate fi rescris ca multiplicarea lui n la k!. Prin urmare,
Nu! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, deci să rescriem 8! ca multiplicarea de la 8 la 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Deci, să rescriem motivul ca:
Al doilea pas: după rescrierea motiv, este posibil să simplificați numărătorul cu numitorul, deoarece 5! este atât în numărător, cât și în numitor. După simplificare, înmulțiți-vă pur și simplu.
Exemplul 2:
Analiza combinatorie și factorială
Când efectuați studiu ulterior în analiza combinatorie, factorialul unui număr va apărea întotdeauna. Principalele grupări din analiza combinatorie, care sunt permutarea, combinația și aranjamentul, utilizează factorialul unui număr în formulele lor.
Permutare
THE permutare si reordonând toate elementele unui set. Pentru a calcula o permutare, apelăm la factorial, deoarece permutarea a n elemente este calculată prin:
PNu = n!
Exemplu:
Câți anagramele putem construi cu numele HEITOR?
Aceasta este o problemă tipică de permutare. Deoarece există 6 litere în nume, pentru a calcula numărul de anagrame posibile, calculați doar P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
De asemenea, accesați: Permutarea cu elemente repetate: cum să o rezolvi?
Aranjamente
calculati aranjamente necesită, de asemenea, stăpânirea factorială a unui număr. Aranjamentul, ca și permutarea, este formarea unei reordonări. Diferența este că în aranjament, reordonăm o parte din set, adică vrem să știm câte reordonări posibile putem forma alegând o cantitate k din una a stabilit cu n elemente.
Exemplu:
Într-o companie, există 6 candidați care să conducă instituția, iar doi vor fi selectați pentru funcțiile de director și director adjunct. Știind că vor fi aleși prin vot, care este numărul posibilelor rezultate?
În acest caz, vom calcula dispunerea a 6 luate de la 2 la 2, deoarece există 6 candidați pentru două posturi vacante.
Combinaţie
În combinație, ca și în celelalte, este necesar să se stăpânească factorialul unui număr. Definim ca combinație tu subseturi ale unui set. Diferența este că, în combinație, nu există o reordonare, deoarece ordinea nu este importantă. Deci calculăm câte subseturi cu k elemente putem forma într-un set de n elemente.
Exemplu:
Un comitet format din 3 studenți va fi ales pentru a reprezenta clasa. Știind că sunt 5 candidați, câte comisii se pot forma?
Citește și: Aranjament sau combinație?
Exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Despre factorialul unui număr, judecați următoarele afirmații.
Eu). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Numai eu este adevărat.
B) Numai II este adevărat.
C) Numai III este adevărat.
D) Numai eu și II sunt adevărate.
E) Numai II și II sunt adevărate.
Rezoluţie
Alternativa A.
I) Adevărat.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Fals.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Fals.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Intrebarea 2 - (UFF) Este produsul 20 · 18 · 16 · 14... · 6 · 4 · 2 echivalent cu?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Rezoluţie
Alternativa D.
Privind produsul tuturor numerelor pare de la 2 la 20, știm că:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Deci putem rescrie ca 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
