O aranjament simplu este un tip de grupare studiat în analiza combinatorie. Știm cum să aranjăm toate grupările formate cu Nu elemente preluate din k în k, știind că valoarea lui Nu > k.
Pentru a diferenția aranjamentul de celelalte grupări (combinația și permutare), este important să înțelegem că, în combinație, ordinea elementelor din set nu este importantă și că, în aranjament, este. În plus, în permutare, sunt implicate toate elementele setului, deoarece în aranjament, am ales o parte din set, în acest caz, exprimat de k elemente ale setului.
Pentru a calcula oricare dintre aceste grupuri și, în special, aranjamentul, este necesar să se utilizeze formule specifice pentru fiecare dintre ele. Există mai multe aplicații de aranjare, dintre care una este elaborarea parolelor bancare. V-ați întrebat vreodată câte parole este posibil să creați cu anumite numere și litere? Prin aranjament putem răspunde la această întrebare.
Citește și: Care este principiul fundamental al numărării?
Care este formula pentru aranjamentul simplu?
Există probleme de aranjament în care nu este necesar să se utilizeze formula, pentru că sunt probleme simple. De exemplu, având în vedere setul {a, b, c}, câte modalități diferite putem alege 2 elemente din aceasta a stabilit deci acea ordine este importantă?
Pentru a rezolva această problemă, doar rescriemos grupările posibile. Acesta este un aranjament deoarece luăm secvențe de 2 elemente dintr-un set care are 3 elemente. Posibilele aranjamente sunt:
A {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (anunț); (dă); (b, c); (c, b); (b, d); (d, b); (CD); (DC)}
În acest caz, putem spune că există 12 aranjamente posibile, cu 3 elemente luate din 2 în 2. Deseori interesul este numărul de aranjamente posibile și nu pe listă, așa cum am făcut mai devreme.
Pentru a rezolva problemele de aranjament, adică găsiți câte aranjamente există Nu elemente preluate din k în k, folosim următoarea formulă:
Cum se calculează aranjamentul simplu?
Pentru a număra numărul de aranjamente într-o situație dată, doar identifică câte elemente au pe ansamblu și câte elemente vor fi alese din acest set, adică care este valoarea Nu și care este valoarea k în această situație, mai târziu, trebuie doar să înlocuiți valorile găsite în formulă și să calculați factoriale.
Exemplul 1:
Câte aranjamente există din 9 elemente luate de la 3 la 3?
Nu = 9 și k = 3
Exemplul 2:
Parolele pentru o anumită bancă sunt formate din patru cifre, iar numerele utilizate nu pot apărea de două ori în aceeași parolă. Deci, care este numărul de parole posibile pentru acest sistem?
Avem de-a face cu o problemă de aranjament, deoarece, într-o parolă, ordinea este importantă și există opțiuni de 10 cifre (toate numerele de la 0 la 9), dintre care vom alege 4.
Nu = 10
k = 4
Citește și: Principiul numărării aditive - unirea a unuia sau mai multor seturi
Aranjament simplu și combinație simplă
pentru cei care studiază analiza combinatorie, unul dintre cele mai importante puncte este diferențierea dintre problemele care pot fi rezolvate cu aranjament simplu și problemele care pot fi rezolvate cu o combinație simplă. Deși sunt concepte apropiate și utilizate pentru a calcula numărul total de grupări posibile într-o parte a elementelor setului, pentru a diferenția problemele care le implică, analizează doar dacă, în problema propusă, ordinea este importantă sau nu.
Când ordinea este importantă, problema este rezolvată printr-un aranjament. Aranjamentul (A, B) este o grupare diferită de (B, A). Astfel, probleme care implică cozi, podiumuri, parole sau orice altă situație în care, atunci când vă deplasați ordinea elementelor, se formează diferite grupări, se rezolvă folosind formula lui aranjament.
Când ordinea nu este importantă, problema este rezolvată printr-o combinație. Combinația {A, B} este aceeași grupare cu {B, A}, adică ordinea elementelor este irelevantă. Problemele care implică desenarea, eșantioanele unui set, printre altele, în care ordinea nu este relevantă, sunt rezolvate folosind formula combinației. Pentru a afla mai multe despre această altă formă de grupare, citiți: combinație simplă.
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Șahul a apărut în secolul al șaselea, în India, ajungând în alte țări, precum China și Persia, și devenind unul dintre jocurile de cea mai populară placă de astăzi, fiind practicată de milioane de oameni și turnee și competiții existente internaţional. Jocul este jucat pe o tablă pătrată și împărțit în 64 de pătrate, alternativ alb și negru. Pe de o parte sunt cele 16 piese albe, iar pe de altă parte, același număr de piese negre. Fiecare jucător are dreptul la o mișcare la un moment dat. Obiectivul jocului este de a face șah mat adversarul. Într-o competiție internațională, primii 15 jucători de șah sunt la fel de capabili să ajungă în finală și să fie câștigători. Știind asta, în câte moduri diferite se poate întâmpla podiumul în această competiție?
A) 32.760
B) 455
C) 3510
D) 2730
E) 210
Rezoluţie
Alternativa D
Noi trebuie sa Nu = 15 și k = 3.
Intrebarea 2 - (Enem) Doisprezece echipe s-au înscris la un turneu de fotbal amator. Jocul de deschidere al turneului a fost ales astfel: mai întâi, au fost extrase 4 echipe care să alcătuiască Grupa A. Apoi, printre echipele din grupa A, au fost extrase 2 echipe pentru a juca jocul de deschidere al turneului, dintre care prima ar juca în propriul teren, iar a doua va fi echipa vizitatorilor. Numărul total de alegeri posibile pentru grupa A și numărul total de alegeri pentru echipele din jocul de deschidere poate fi calculat prin:
A) o combinație și, respectiv, un aranjament.
B) un aranjament și, respectiv, o combinație.
C) un aranjament și, respectiv, o permutare.
D) două combinații.
E) două aranjamente.
Rezoluţie
Alternativa A. Pentru a ști la ce fel de grupare se referă problema, este suficient să analizăm dacă ordinea este importantă sau nu.
În prima grupare, 4 echipe vor fi extrase dintre cele 12. Rețineți că, în această extragere, ordinea nu contează. Indiferent de ordine, cele 4 echipe extrase vor forma Grupa A, deci prima grupare este o combinație.
În cea de-a doua alegere, dintre cele 4 echipe, vor fi extrase 2, dar prima va juca acasă, deci, în acest caz, ordinea generează rezultate diferite, astfel, este un aranjament.
De Raul Rodrigues Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-simples.htm