THE funcția de injecție, cunoscută și sub numele de funcție injectivă, este un caz particular al funcției. Pentru ca o funcție să fie considerată injectabilă, trebuie să avem următoarea apariție: date două elemente, x1 și x2, aparținând setului de domenii, cu x1 diferit de x2, imagini f (x1) și f (x2) sunt întotdeauna distincte, adică f (x1) ≠ f (x2). Această funcție are caracteristici specifice care permit identificarea graficului său și, de asemenea, analiza legii formării.
Citește și: Domeniu, contra-domeniu și imagine - termeni de bază pentru înțelegerea conținutului funcțiilor
Ce este o funcție de injecție?
Pentru a construi câteva exemple de funcție a injectorului, este important să înțelegem definiția acestui tip de funcție. O functie f: A → B este clasificat ca injectabil dacă și numai dacă, elementele diferite de setul A au imagini diferite în setul B, adică:
Exemplul 1:
Mai jos este un exemplu de funcție a injectorului în dam diagramaNuNu:
Exemplul 2:
Mai jos este un exemplu de funcție care nu se injectează. Rețineți că în
a stabilit A, există două elemente distincte care au aceeași imagine în setul B, ceea ce contrazice definiția funcției injectorului.
Cum se calculează o funcție de injector?
Pentru a verifica dacă o funcție injectează sau nu, este necesar să se analizeze comportamentul legii de formare, precum și domeniul și contra-domeniul în care este definită funcția.
Exemplu:
dată fiind funcția f: R → R, cu legea formării f(x) = 2x, verificați dacă este injector.
Prin legea formării, putem vedea că este nevoie de un numar real a domeniului și îl transformă în dublul său. Două numere reale distincte, atunci când sunt înmulțite cu două, dau rezultate distincte. THE ocupaţief, după cum putem vedea, este o funcție de injector, deoarece pentru orice două valori ale lui x1 și x2,valoarea a f(X1) ≠ f(X2).
Exemplul 2:
dată fiind funcția f: R → R, cu legea formării f(x) = x², verificați dacă este injector.
Putem observa că, pentru acest domeniu, această funcție nu injectează, deoarece avem că imaginea oricărui număr este egală cu imaginea opusului său, de exemplu:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
Rețineți că f(2) = f (- 2), care contrazice definiția unei funcții de injector.
Exemplul 3:
dată fiind funcția f: R+ → R, cu legea formării f(x) = x², verificați dacă este injector.
Rețineți că acum domeniul este numerele reale pozitive și zero. Funcția transformă numărul real în pătratul său; în acest caz, când domeniul este setul de numere reale pozitive, această funcție este injectivă, deoarece pătratul a două numere pozitive distincte va genera întotdeauna rezultate diferite. Deci, este foarte important să ne amintim că, pe lângă legea formării funcției, trebuie să analizăm domeniul și contra-domeniul acesteia.
Citește și: Ce este o funcție inversă?
Diagrama funcției injecției
Pentru a identifica dacă graficul este o funcție de injector sau nu, trebuie doar să verificați dacă există două valori x distincte care generează același corespondent y, adică, verificați validitatea definiției funcției injectorului.
În intervalul în care vom analiza graficul, funcția trebuie să fie exclusiv crescătoare sau exclusiv descrescătoare. Grafică precum parabolă sau funcția sinusoidală nu sunt grafice ale funcțiilor injectorului.
Exemplul 1:
Linia ascendentă este graficul unei funcții de injecție. Rețineți că este mereu în creștere și că nu există o valoare y care să aibă doi corespondenți distincti.
Exemplul 2:
Graficul unui functie exponentiala este, de asemenea, graficul unei funcții de injector.
Exemplul 3:
Graficul unui funcția pătratică este întotdeauna o parabolă. Când domeniul implică numerele reale, este posibil să vedem că există diferite valori x care au același corespondent în y, ca în punctele F și G, ceea ce face acest grafic al unei funcții care nu este injector.
Pe scurt, pentru a ști dacă graficul are sau nu o funcție de injector, este suficient să verificați dacă definiția unei funcții de injector este valabilă sau nu pentru acea funcție.
Exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (Enem 2017 - PPL) În primul an de liceu la o școală, este obișnuit ca elevii să danseze dansuri pătrate la petrecerea din iunie. În acest an, sunt 12 fete și 13 băieți în clasă și s-au format 12 perechi diferite pentru bandă, formate dintr-o fată și un băiat. Să presupunem că fetele sunt elementele care alcătuiesc mulțimea A și băieții, mulțimea B, astfel încât perechile formate să reprezinte o funcție f de la A la B.
Pe baza acestor informații, clasificarea tipului de funcție care este prezentă în această relație este
A) f se injectează, deoarece pentru fiecare fată aparținând mulțimii A, este asociat un băiat diferit care aparține mulțimii B.
B) f este surjectiv, deoarece fiecare pereche este formată dintr-o fată aparținând setului A și un băiat aparținând setului B, lăsând un băiat nepereche.
C) f se injectează, ca oricare două fete aparținând setului A pereche cu același băiat aparținând setului B, pentru a implica toți elevii din clasă.
D) f este bijectiv, deoarece oricare doi băieți aparținând mulțimii B formează o pereche cu aceeași fată aparținând mulțimii A.
E) f este surjectiv, deoarece este suficient ca o fată din mulțimea A să formeze o pereche cu doi băieți din mulțimea B, astfel încât niciun băiat să nu fie fără o pereche.
Rezoluţie
Alternativa A.
Această funcție este injectivă deoarece, pentru fiecare element al mulțimii A, există un singur corespondent în mulțimea B. Rețineți că nu există posibilitatea ca două fete să danseze cu aceeași pereche, deci această relație este injectabilă.
Intrebarea 2 - (IME - RJ) Luați în considerare mulțimile A = {(1,2), (1,3), (2,3)} și B = {1, 2, 3, 4, 5} și lăsați funcția f: A → B astfel încât f (x, y) = x + y.
Este posibil să spunem că f este o funcție:
A) injector.
B) surjectiv.
C) bijector.
D) alin.
E) ciudat.
Rezoluţie
Alternativa A.
Analizând domeniul, trebuie să:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f (2,3) = 2 + 3 = 5
Rețineți că pentru oricare doi termeni diferiți din domeniu, aceștia sunt legați de termeni diferiți în controdomini, ceea ce face din această funcție un injector.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm