THE secvență numerică, așa cum sugerează și numele, este o succesiune de numere și de obicei are o lege a recurenței, care face posibilă prezicerea care vor fi următorii termeni cunoscându-vă predecesorii. Putem asambla secvențe de numere cu criterii diferite, cum ar fi o secvență de numere pare sau o secvență de numere divizibil cu 4, secvența numerelor prime, secvența pătratelor perfecte, în cele din urmă, există mai multe posibilități de secvențe numeric.
Când clasăm secvența după numărul de termeni, secvența poate fi finită sau infinită. Când clasificăm secvența în funcție de comportamentul termenilor, această secvență poate fi ascendent, descendent, oscilant sau constant. Există cazuri speciale de secvențe cunoscute sub numele de progresii aritmetice și progresii geometrice.
Citește și: Cum se calculează soma termenilor a progresie aritmetică?
Rezumatul secvenței numerice
Secvența numerică nu este altceva decât o succesiune de numere.
-
Câteva exemple de secvențe numerice:
secvența numerelor pare (0,2,4,6,8 ...);
secvență de natură mai mică de 6 (1, 2, 3, 4, 5);
succesiunea numerelor prime (2,3,5,7,11, ...).
Legea formării unei progresii este regula care guvernează această succesiune.
-
O secvență poate fi finită sau infinită.
Finit: atunci când aveți o cantitate limitată de termeni.
Infinit: atunci când aveți o cantitate nelimitată de termeni.
-
O secvență poate fi în creștere, necredincioasă, constantă sau oscilantă.
Semilună: când termenul este întotdeauna mai mic decât succesorul său.
Descendent: când termenul este întotdeauna mai mare decât succesorul său.
Constant: când termenul este întotdeauna egal cu succesorul său.
Oscilant: atunci când există termeni mai mari și mai mici decât succesorul său.
Există cazuri speciale de secvențe cunoscute sub numele de progresie aritmetică sau progresie geometrică.
Legea apariției secvenței numerice
Știm ca secvență numerică orice secvență formată din numere. De obicei, demonstrăm secvențe enumerând termenii lor, încadrați între paranteze și separați printr-o virgulă. Această listă este cunoscută ca legea apariției unei secvențe de numere.
(The1, A2, A3, …, ANu)
1 → primul termen al secvenței
2 → al doilea termen al secvenței
3 → al treilea termen al secvenței
Nu → al n-lea termen al secvenței
Să ne uităm la câteva exemple de mai jos.
Exemplul 1:
Legea apariției succesiunii numerelor multipli din 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Exemplul 2:
Legea apariției secvenței de numere prime:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Exemplul 3:
Legea apariției întreg negativ:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Exemplul 4:
Secvența numerelor impare mai mici de 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Citește și: Care sunt proprietățile numerelor pare și impare?
Clasificarea secvenței numerice
Există două moduri distincte de a clasifica un șir. Primul este în ceea ce privește cantitatea de termeni, modul în care o secvență poate fi finită sau infinită. Cealaltă modalitate de clasificare a secvențelor este în ceea ce privește comportamentul lor. În acest caz, acestea sunt clasificate ca fiind crescătoare, descrescătoare, constante sau fluctuante.
Clasificare după valoarea termenilor
→ secvență numerică finită
Secvența este finită atunci când este are o cantitate limitată de termeni.
Exemple:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ secvență numerică infinită
Secvența este infinită atunci când are o cantitate nelimitată de termeni.
Exemple:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Evaluarea comportamentului
→ Succesiune numerică crescătoare
O secvență este ascendentă când orice termen este întotdeauna mai mic decât succesorul său in secvență.
Exemple:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Secvență numerică descendentă
O secvență este descendentă când orice termen este întotdeauna mai mare decât succesorul său in secvență.
Exemple:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ secvența numerică constantă
O secvență este constantă atunci când toți termenii din secvență sunt aceiași:
Exemple:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Secvența numerică oscilantă
O secvență se leagănă când există termeni mai mari și termeni mai mici că succesorii lor respectivi în secvență:
Exemple:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Legea formării secvenței numerice
Unele secvențe pot fi descrise de un formula care vă generează termenii. Această formulă este cunoscută sub numele de legea formării. Folosim legea formării pentru a găsi orice termen din secvență atunci când îi cunoaștem comportamentul.
Exemplul 1:
Următoarea secvență este formată din pătrate perfecte:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Putem descrie această secvență prin legea formării:
Nu = (n - 1) ²
n → numărul termenului
Nu → termenul de poziție Nu
Cu această formulă, este posibil să se cunoască, de exemplu, termenul care ocupă poziția numărul 10 în secvență:
10 = ( 10 – 1) ²
10 = 9²
10 = 81
Exemplul 2:
Enumerați termenii secvenței a căror lege de formare esteNu = 2n - 5.
Pentru listare, vom găsi primii termeni din secvență:
Primul termen:
Nu = 2n - 5
1 = 2·1 – 5
1 = 2 – 5
1 = – 3
Al doilea mandat:
Nu = 2n - 5
2 = 2·2 – 5
2 = 4 – 5
2 = – 1
Al treilea mandat:
Nu = 2n - 5
3 = 2·3 – 5
3 = 6 – 5
3 = 1
Al patrulea mandat:
Nu = 2n - 5
4 = 2·4 – 5
4 = 8 – 5
4 = 3
Al 5-lea mandat:
5 = 2n - 5
5 = 2·5 – 5
5 = 10 – 5
5 = 5
Deci secvența este:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Vezi și: Numere romane — sistem numeric care folosește litere pentru a reprezenta valori și cantități
Progresia aritmetică și progresia geometrică
Ei exista cazuri speciale de secvențe care sunt cunoscute sub numele de progresie aritmetică și progresie geometrică. O secvență este o progresie atunci când există un motiv pentru un termen pentru succesorul său.
progresie aritmetică
Când știm primul termen din secvență și, pentru al găsi pe al doilea,adaugam primul la o valoare r și pentru a găsi al treilea termen, îl adăugăm pe al doilea la aceeași valoare. r, și așa mai departe, șirul este clasificat ca progresie aritmetică.
Exemplu:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Aceasta este o progresie aritmetică a raportului egal cu 4 și primul termen egal cu 1.
Rețineți că pentru a găsi succesorul unui număr în secvență, trebuie doar să adăugați 4, deci spunem că 4 este motivul acestei progresii aritmetice.
Progresia geometrică
La progresie geometrică, există și un motiv, dar în acest caz, pentru a găsi succesorul unui termen, trebuie să înmulțim termenul cu raportul.
Exemplu:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Aceasta este o progresie geometrică a raportului egal cu 3 și primul termen egal cu 2.
Rețineți că pentru a găsi succesorul unui număr din această succesiune, pur și simplu înmulțiți cu 3, ceea ce face ca raportul acestei progresii geometrice să fie 3.
Exerciții rezolvatedespre secvența numerică
Intrebarea 1 - Analizând secvența (1, 4, 9, 16, 25, ...), putem spune că următoarele două numere vor fi:
A) 35 și 46.
B) 36 și 49.
C) 30 și 41.
D) 41 și 66.
Rezoluţie
Alternativa B.
Pentru a găsi termenii secvenței, este important să găsiți o regularitate în secvență, adică să înțelegeți legea acesteia. Rețineți că, de la primul termen la al doilea termen, adăugăm 3; de la al doilea la al treilea termen, adăugăm 5; de la al treilea la al patrulea termen și de la al patrulea la al cincilea termen, adăugăm, respectiv, 7 și 9, astfel încât suma crește cu două unități la fiecare termen al secvenței, adică în următorul, vom adăuga 11, apoi 13, apoi 15, apoi 17 și așa mai departe succesiv. Pentru a găsi succesorul lui 25, vom adăuga 11.
25 + 11 = 36.
Pentru a găsi succesorul lui 36, vom adăuga 13.
36 + 13 = 49
Deci, următorii termeni vor fi 36 și 49.
Intrebarea 2 - (AOCP Institute) Apoi, este prezentată o secvență numerică, astfel încât elementele acestei secvențe au fost aranjate respectând o lege (logică) a formării, unde x și y sunt numere întregi: (24, 13, 22, 11, 20, 9, X y). Observând această secvență și găsind valorile lui x și y, urmând legea formării secvenței date, este corect să afirmăm că
A) x este un număr mai mare de 30.
B) y este un număr mai mic decât 5.
C) suma lui x și y rezultă în 25.
D) produsul lui x și y dă 106.
E) diferența dintre y și x, în această ordine, este un număr pozitiv.
Rezoluţie
Alternativa C.
Vrem să găsim al 7-lea și al 8-lea termen al acestei secvențe.
Analizând legea apariției secvenței (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), este posibil să vedem că există o logică pentru termenii impari (primul termen, al treilea termen, al 5-lea termen... ). Rețineți că al treilea termen este egal cu primul termen minus 2, deoarece 24 - 2 = 22. Folosind aceeași logică, al 7-lea termen, reprezentat de x, va fi al 5-lea termen minus 2, adică x = 20 - 2 = 18.
Există o logică similară pentru termenii uniformi (al doilea termen, al patrulea mandat, al șaselea termen ...): al patrulea termen este al doilea termen minus 2, deoarece 13 - 2 = 11 și așa mai departe. Vrem al optulea termen, reprezentat de y, care va fi al șaselea termen minus 2, deci y = 9 - 2 = 7.
Deci avem x = 18 și y = 7. Analizând alternativele, avem că x + y = 25, adică suma lui x și y rezultă în 25.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm