Printre modalitățile de a găsi valoarea numerică a lui x, un proces cunoscut și sub numele de găsiți rădăcinile unei ecuații sau găsiți soluția unei ecuații, iasă în evidență: Formula Bhaskara este proces de completare a pătratelor. Acesta din urmă este punctul central al textului de astăzi.
Numărul de soluții ale unei ecuații este dat de gradul său. Prin urmare, ecuațiile de gradul întâi au o singură soluție, ecuațiile de gradul trei au trei soluții și ecuațiile pătratice au două soluții, numite și rădăcini..
Ecuațiile de gradul II, în forma lor redusă, pot fi scrise după cum urmează:
topor2 + bx + c = 0
metoda de completare a pătratului
În acest caz, ecuația pătratică este un trinom pătrat perfect
Ecuațiile de gradul II rezultate dintr-un produs remarcabil sunt cunoscute sub numele de perfect trinomial pătrat. Pentru a-i găsi rădăcinile, vom folosi metoda exemplificată mai jos:
Exemplu: Calculați rădăcinile ecuației x2 + 6x + 9 = 0.
Rețineți că coeficientul b este 6 = 2 · 3. Pentru a-l scrie sub forma unui produs remarcabil, verificați doar dacă c = 3
2, ceea ce este adevărat, din 32 = 9 = c. În acest fel, putem scrie:X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Rețineți că un produs notabil este produsul dintre două polinoame egale. În cazul acestei ecuații, vom avea:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Un produs este egal cu zero numai atunci când unul dintre factorii săi este egal cu zero. Prin urmare, pentru (x + 3) (x + 3) = 0, este necesar ca (x + 3) = 0 sau (x + 3) = 0. De aici rezultă cele două rezultate egale pentru ecuația x2 + 6x + 9 = 0, care sunt: x = - 3 sau x = - 3.
Pe scurt: pentru a rezolva ecuația x2 + 6x + 9 = 0, scrieți:
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 sau x = - 3
În acest caz, ecuația pătratică nu este un trinom pătrat perfect
O ecuație a doua în care coeficientul b și coeficientul c nu îndeplinesc relațiile stabilite mai sus nu este un trinom pătrat perfect. În acest caz, metoda de rezolvare evidențiată mai sus poate fi utilizată cu adăugarea câtorva pași. Rețineți următorul exemplu:
Exemplu: Calculați rădăcinile ecuației x2 + 6x - 7 = 0.
Rețineți că această ecuație nu este un trinom pătrat perfect. Pentru ca acesta să fie, putem folosi următoarele operațiuni:
Rețineți că b = 2 · 3, deci în primul membru expresia care ar trebui să apară este x2 + 6x + 9, deoarece în această expresie b = 2 · 3 și c = 32.
Pentru această „transformare”, adăugați 32 pe cei doi membri ai acestei ecuații, „treceți” -7 la al doilea membru, efectuați operațiile posibile și observați rezultatele:
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 sau x + 3 = - 4
Acest ultim pas trebuie împărțit în două ecuații, deoarece rădăcina lui 16 poate fi fie 4, fie - 4 (acest lucru are loc numai în ecuații. Dacă este întrebat care este rădăcina lui 16, răspunsul este doar 4). Deci, este necesar să găsiți toate rezultatele posibile. Continuare:
x + 3 = 4 sau x + 3 = - 4
x = 4 - 3 sau x = - 4 - 3
x = 1 sau x = - 7
În acest caz, coeficientul „a” nu este egal cu 1
Cazurile anterioare sunt destinate ecuațiilor pătratice în care coeficientul „a” este egal cu 1. Dacă coeficientul „a” este diferit de 1, împărțiți întreaga ecuație la valoarea „a” și continuați cu calculele în același mod ca în cazul anterior.
Exemplu: Calculați 2x rădăcini2 + 16x - 18 = 0
Rețineți că a = 2. Deci împărțiți întreaga ecuație la 2 și simplificați rezultatele:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x - 9 = 0
După ce ați făcut acest lucru, repetați procedurile din cazul anterior.
X2 + 8x - 9 = 0
X2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 sau x + 4 = –5
x = 5 - 4 sau x = - 5 - 4
x = 1 sau x = - 9
Produse notabile și ecuații de gradul II: originea metodei de finalizare a pătratului
Ecuațiile pătratice seamănă cu produsele remarcabile sum pătrat și pătratul diferenței.
Suma pătrată, de exemplu, este o sumă de două monomii pătrate. Ceas:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Primul membru al egalității de mai sus este cunoscut sub numele de produs remarcabil iar al doilea cum trinom pătrat perfect. Acesta din urmă seamănă foarte mult cu o ecuație de gradul al doilea. Ceas:
Trinomul pătrat perfect: X2 + 2kx + k2
Ecuația de gradul doi: topor2 + bx + c = 0
În acest fel, dacă există vreo modalitate de a scrie o ecuație pătratică ca produs remarcabil, poate există și o modalitate de a vă găsi rezultatele fără a fi nevoie să utilizați formula Bhaskara.
Pentru a face acest lucru, rețineți că, în produsul notabil de mai sus, a = 1, b = 2 · k și c = k2. În acest fel, este posibil să scrieți ecuații care îndeplinesc aceste cerințe sub forma unui produs remarcabil.
Așadar, uitați-vă la coeficienții din ecuație. Dacă „a” este diferit de 1, împărțiți întreaga ecuație la valoarea „a”. În caz contrar, respectați coeficientul „b”. Valoarea numerică a jumătății acestui coeficient trebuie să fie egală cu valoarea numerică a rădăcinii pătrate a coeficientului „c”. Matematic, având în vedere ecuația ax2 + bx + c = 0, dacă a = 1 și în plus:
B = c
2
Deci, puteți scrie această ecuație astfel:
topor2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Și rădăcinile sale vor fi - B și + b.
2 2
Prin urmare, toată teoria utilizată pentru a calcula rădăcinile ecuațiilor pătratice prin metoda completării pătratelor.
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm