Trunchiul conului: ce este, elemente, formule

O trunchiul unui con este solidul format din partea de jos a conului atunci când efectuați o secțiune la orice înălțime paralelă cu baza. când tăiem con la orice înălțime dată, este împărțit în două solide geometrice, un con mai mic decât cel anterior și trunchiul unui con.

Trunchiul conului are formule specifice, astfel încât este posibil să se calculeze aria totală și volumul acestui solid geometric.

Citește și: Care sunt solidele lui Platon?

Elementele conului trunchiului

Trunchiul unui con se formează atunci când faceți o secțiune într-un con.

Trunchiul unui con este un caz special de corpuri rotunde. Își primește numele deoarece, într-un con, când facem o secțiune paralelă cu baza, este împărțită în două părți. Partea de jos este trunchiul conului.

Având în vedere trunchiul unui con, există elemente importante în aceasta solid, cărora li se dau nume specifice.

R → raza celei mai mari baze

h → înălțimea conului

r → raza celei mai mici baze

g → con trunchi generatrix

Putem vedea că trunchiul conului este compus din

instagram story viewer

două fețe în formă de cerc, care sunt cunoscute sub numele de baze. Mai mult, una dintre ele are întotdeauna o rază mai mică decât cealaltă. Astfel, r

Generator de trunchiuri

Având în vedere un trunchi de con, este posibil calculați valoarea generatorului acestui solid folosind teorema de Pitagora, când cunoaștem razele celei mai mari și mai mici baze, pe lângă înălțime.

g² = h² + (R - r) ²

Exemplu:

Găsiți generatoarea unui con de trunchi care are o înălțime de 8 cm, o rază a bazei mai mare egală cu 10 cm și raza bazei mai mică de 4 cm.

Pentru a găsi trunchiul conului generator, trebuie să:

h = 8
R = 10
r = 4

Înlocuind în formulă:

g² = h² + (R - r) ²
g² = 8² + (10 - 4) ²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √100
g = 10 cm

Vezi și: Cum se găsește centrul unui cerc?

Volumul conului trunchiului

Pentru a calcula volumul trunchiului conului, folosim formula:

Cunoscând valorile înălțimii, raza celei mai mari baze și raza celei mai mici baze, este posibil să se calculeze volumul trunchiului unui con.

Exemplu:

Găsiți volumul unui con de trunchi care are o înălțime egală cu 6 cm, raza celei mai mari baze egală cu 8 cm și raza celei mai mici baze egală cu 4 cm. Folosiți π = 3.1.

Planificarea trunchiului unui con

THE planificând un solid geometric si reprezentarea fețelor voastre într-un mod bidimensional. Vedeți mai jos rindeluirea trunchiului conului.

Suprafața totală a trunchiului conului

Cunoscând planul unui trunchi de con, este posibil să se calculeze valoarea suprafeței totale a acestui solid geometric. Știm că este compus din două baze în formă de cerc și, de asemenea, prin zona sa laterală. Aria totală a trunchiului unui con este suma ariilor acestor trei regiuni:

THE_T = A_B+ A_B + A_Acolo

THE_T → suprafața totală

THE_B → suprafață de bază mai mare

THE_B → suprafață de bază mai mică

THE_L → zona laterală

Rețineți că bazele sunt cercuri și că zona laterală începe de la un cerc, deci:

THE_Acolo = πg (R + r)

THE_B= πR²

THE_B = πr²

Exemplu:

Calculați aria totală a trunchiului conului care are o înălțime egală cu 12 cm, raza bazei mai mare egală cu 10 cm și raza bazei mai mică de 5 cm. Folosiți π = 3.

Mai întâi vom găsi generatorul pentru a calcula aria laterală:

g² = 12² + (10 - 5) ²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13

THE_Acolo = πg (R + r)
THE_Acolo = 3 · 13 (10 + 5)
THE_Acolo = 39 · 15
THE_Acolo = 39 · 15
THE_Acolo = 585 cm²

Acum vom calcula aria fiecărei baze:

THE_B= πR²
THE_B= 3 · 10²
THE_B= 3 · 100
THE_B= 300 cm²

THE_B = πr²
THE_B= 3 · 5²
THE_B= 3 · 25
THE_B= 75 cm²

THE_T = A_B+ A_B + A_Acolo
THE_T = 300+ 75 + 585 = 960 cm²

Vezi și: Care sunt diferențele dintre cerc și circumferință?

Exerciții rezolvate

Intrebarea 1 - (Enem 2013) Un bucătar, expert în fabricarea prăjiturilor, folosește o matriță în formatul prezentat în figură:

Identifică reprezentarea a două figuri geometrice tridimensionale. Aceste cifre sunt:

A) un frust de con și un cilindru.

B) un con și un cilindru.

C) un trunchi al unei piramide și un cilindru.

D) două trunchiuri conice.

E) doi cilindri.

Rezoluţie

Alternativa D. Analizând solidele geometrice, cele două au două fețe circulare de dimensiuni diferite, deci sunt frunze conice.

Intrebarea 2 - (Nucepe) Cum este și pentru ce servește în primul rând o ceașcă, știm cu toții: servirea băuturilor, în special a celor fierbinți. Dar de unde a venit ideea creării unui „pahar cu mâner”?

Ceaiul, care are o origine orientală, a fost inițial servit în oale rotunde, fără mânere. Potrivit tradiției, acesta a fost chiar un avertisment pentru cei care conduceau ceremonia de băut: dacă recipientul îți ardea vârful degetelor, era prea fierbinte pentru a bea. La temperatura ideală, nu s-a deranjat, nici măcar cu contactul direct cu porțelanul.

Sursă: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Accesat la 01/06/2018.

O ceașcă de ceai are forma unui trunchi de con drept, așa cum se arată în figura de mai jos. Care este volumul maxim aproximativ de lichid pe care îl poate conține?