A capac sferic si solid geometric obtinut atunci cand o sfera este interceptata de un plan, impartind-o in doua solide geometrice. Calota sferică este considerată un corp rotund deoarece, la fel ca sfera, are o formă rotunjită. Pentru a calcula aria și volumul unui capac sferic, folosim formule specifice.
Citeste si: Trunchiul conului - solidul geometric format de partea inferioară a conului atunci când se realizează o secțiune paralelă cu baza
Subiectele acestui articol
- 1 - Rezumat asupra capacului sferic
- 2 - Ce este un capac sferic?
- 3 - Elemente ale calotei sferice
- 4 - Calota sferică este un poliedru sau un corp rotund?
- 5 - Cum se calculează raza capacului sferic?
- 6 - Cum se calculează aria capacului sferic?
- 7 - Cum se calculează volumul capacului sferic?
- 8 - Exerciții rezolvate pe calotă sferică
Rezumat despre capacul sferic
- Calota sferică este un solid geometric obținut atunci când sfera este împărțită la un plan.
- Elementele principale ale calotei sferice sunt raza sferei, raza calotei sferice și înălțimea calotei sferice.
- Calota sferică nu este un poliedru, ci un corp rotund.
- Dacă planul împarte sfera în jumătate, capacul sferic formează o emisferă.
- Este posibil să se calculeze raza calotei sferice folosind teorema lui Pitagora, organizată după cum urmează:
\(\stanga (R-h\dreapta)^2+r^2=R^2\)
- Aria capacului sferic poate fi calculată folosind formula:
\(A=2\pi rh\\)
- Volumul capacului sferic poate fi calculat folosind următoarea formulă:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\stânga (3r-h\dreapta)\)
Nu te opri acum... Mai sunt dupa publicitate ;)
Ce este un capac sferic?
capac sferic este solidul geometric obţinut atunci când o secţiune a minge uzual apartament. Când tăiem sfera cu un avion, împărțim această sferă în două capace sferice. Când împărțim sfera în jumătate, capacul sferic este cunoscut sub numele de emisferă.
Elemente cu capac sferic
Într-o calotă sferică, elementele principale sunt raza sferei, raza calotei sferice și înălțimea calotei sferice.
- R → raza sferei.
- r → raza calotei sferice.
- h → înălțimea calotei sferice.
Este capacul sferic un poliedru sau un corp rotund?
Putem vedea că capacul este un solid geometric. Deoarece are o bază circulară și o suprafață rotunjită, capacul sferic este considerat a corp rotund, care este cunoscut și ca solidul revoluției. Este demn de menționat că poliedru are fete formate de poligoane, ceea ce nu este cazul calotei sferice, care are o baza formata din a cerc.
Cum se calculează raza capacului sferic?
Pentru a calcula lungimea razei capacului sferic, este necesar să se cunoască lungimea înălțimii h a calotei sferice și lungimea razei R a sferei, deoarece, după cum putem vedea în imaginea următoare, există o relație pitagoreică.
Rețineți că avem un triunghi dreptunghic, triunghiul OO’B, cu ipotenuza care măsoară R și catetele măsoară R – h și r. Aplicarea teorema lui Pitagora, Trebuie să ne:
\(\stanga (R-h\dreapta)^2+r^2=R^2\)
Exemplu:
Care este raza unei calote sferice care are inaltimea de 2 cm, in conditiile in care raza sferei este de 5 cm?
Rezoluţie:
Aplicând relația pitagoreică:
\(\stanga (R-h\dreapta)^2+r^2=R^2\)
\(\stanga (5-2\dreapta)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Cum se calculează aria capacului sferic?
Pentru a calcula aria capacului sferic, este necesar să se cunoască măsurarea lungimii razei R a sferei și a înălțimii h a calotei. Formula folosită pentru a calcula suprafața este:
\(A=2\pi Rh\)
- R → raza sferei.
- h → înălțimea calotei sferice.
Exemplu:
Un capac sferic a fost obținut dintr-o sferă care are o rază de 6 cm și o înălțime de 4 cm. Deci, care este suprafața acestui capac sferic?
Rezoluţie:
Calculând aria capacului sferic, avem:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\\)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Cum se calculează volumul capacului sferic?
Volumul capacului sferic poate fi calculată în două moduri. Prima formulă depinde de raza R a sferei și de înălțimea h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\stânga (3 R-h\dreapta)\)
Exemplu:
Care este volumul unei calote sferice obtinute dintr-o sfera cu raza de 8 cm a carei inaltime a calotei sferice este de 6 cm?
Rezoluţie:
Deoarece cunoaștem valoarea lui R și h, vom folosi prima formulă.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\stânga (3 R-h\dreapta)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\stânga (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\stânga (24-6\dreapta)\)
\(V=12\pi\stanga (18\dreapta)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Cealaltă formulă de volum a capacului sferic ia în considerare raza capacului sferic r și înălțimea capacului h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\stânga (3r^2+h^2\dreapta)\)
Exemplu:
Care este volumul unui capac sferic care are o rază de 10 cm și o înălțime de 4 cm?
Rezoluţie:
În acest caz, avem r = 10 cm și h = 4 cm. Deoarece știm valoarea razei capacului sferic și a înălțimii, vom folosi a doua formulă:
\(V=\frac{\pi h}{6}\stânga (3r^2+h^2\dreapta)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\stânga (300+16\dreapta)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\stânga (316\dreapta)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\aproximativ 210,7\ \pi\ cm³\)
Vezi si: Trunchiul piramidei - solidul geometric format de partea inferioară a piramidei atunci când este luată o secțiune transversală
Exerciții rezolvate pe calotă sferică
intrebarea 1
(Enem) Pentru a decora o masă de petrecere pentru copii, un bucătar va folosi un pepene sferic cu diametrul de 10 cm, care va servi drept suport pentru a frigărui diferite dulciuri. El va îndepărta un capac sferic din pepene galben, așa cum se arată în figură și, pentru a garanta stabilitatea acestui suport, făcând dificil ca pepenele să se rostogolească peste masă, bucătarul va tăia astfel încât raza r a secțiunii de tăiere circulară să fie de cel puțin minus 3 cm. Pe de altă parte, șeful va dori să aibă cât mai mult spațiu în regiunea în care vor fi postate dulciurile.
Pentru a-și atinge toate obiectivele, bucătarul trebuie să taie vârful pepenilor la o înălțime h, în centimetri, egală cu
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Rezoluţie:
Alternativa C
Știm că diametrul sferei este de 10 cm, deci raza ei este de 5 cm, deci OB = 5 cm.
Dacă raza secțiunii este exact de 3 cm, avem:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Prin urmare:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
intrebarea 2
Un capac sferic are o suprafață de 144π cm². Știind că are o rază de 9 cm, înălțimea acestui capac sferic este:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Rezoluţie:
Alternativa A
Noi stim aia:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Inaltimea este de 8 cm.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Doriți să faceți referire la acest text într-o lucrare școlară sau academică? Uite:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. „Capac sferic”; Școala din Brazilia. Disponibil in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm. Accesat pe 20 iulie 2023.
Faceți clic aici și aflați totul despre cilindru, un solid geometric care este foarte prezent în viața noastră de zi cu zi. Învață-le formulele și învață cum să le folosești pe fiecare dintre ele!
Aflați ce este un con, cum să-i calculați aria și volumul total, precum și principalele clasificări și identificați planeitatea acestui solid.
Faceți clic aici și aflați ce sunt corpurile rotunde. Cunoaște-i caracteristicile și formulele. Aflați diferența dintre un corp rotund și un poliedru.
Faceți clic pentru a înțelege mai bine elementele unei sfere și, de asemenea, pentru a afla cum să efectuați calcule care implică aceste elemente!
Aflați ce este o sferă și care sunt elementele care o constituie. Învață să calculezi volumul și aria totală a acestui solid geometric și rezolvi exercițiile.
Aflați cum să calculați volumul sferei. Citiți despre acest solid geometric și formulele sale.
Îngrijorează-te
Argoul adaptat din engleză este folosit pentru a desemna pe cineva care este privit ca neplăcut, rușinos, depășit și demodat.
Neurodiversitatea
Un termen inventat de Judy Singer, este folosit pentru a descrie marea varietate de moduri în care se comportă mintea umană.
PL de știri false
Cunoscut și ca PL2660, este un proiect de lege care stabilește mecanisme de reglementare a rețelelor sociale din Brazilia.
