matricea simetrică este sediu în care fiecare element \(a_{ij}\) este egal cu elementul \(a_{ji}\) pentru toate valorile lui i și j. În consecință, fiecare matrice simetrică este egală cu transpunerea ei. De asemenea, merită menționat faptul că fiecare matrice simetrică este pătrată și că diagonala principală acționează ca o axă de simetrie.
Citeste si:Adunarea și scăderea matricei - cum se calculează?
Subiectele acestui articol
- 1 - Rezumat pe matrice simetrică
- 2 - Ce este o matrice simetrică?
- 3 - Care sunt proprietățile matricei simetrice?
- 4 - Care sunt diferențele dintre matricea simetrică și matricea antisimetrică?
- 5 - Exerciții rezolvate pe matrice simetrică
Rezumat despre matricea simetrică
Într-o matrice simetrică, \(a_{ij}=a_{ji}\) pentru toate i și j.
Fiecare matrice simetrică este pătrată.
Fiecare matrice simetrică este egală cu transpunerea ei.
Elementele unei matrice simetrice sunt simetrice față de diagonala principală.
În timp ce în matricea simetrică \(a_{ij}=a_{ji}\) pentru toate i și j; într-o matrice antisimetrică, \(a_{ij}=-a_{ji}\) pentru toate i și j.
Ce este o matrice simetrică?
O matrice simetrică este o matrice pătrată unde \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) pentru fiecare i și fiecare j. Aceasta înseamnă că \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)și așa mai departe, pentru toate valorile posibile ale lui i și j. Rețineți că valorile posibile ale lui i corespund rândurilor matricei, iar valorile posibile ale lui j corespund coloanelor matricei.
Exemple de matrici simetrice
\(\begin{bmatrix} 5 și 9 \\ 9 și 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Exemple de matrici nesimetrice (a se lua în considerare \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 și 8 \\ 9 și 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Important: A spune că o matrice nu este simetrică înseamnă a arăta asta \(a_{ij}≠a_{ji}\) pentru cel puțin unele i și j (pe care le putem vedea comparând exemplele anterioare). Acesta este diferit de conceptul de matrice antisimetrică, pe care îl vom vedea mai târziu.
Nu te opri acum... Mai sunt dupa publicitate ;)
Care sunt proprietățile matricei simetrice?
Fiecare matrice simetrică este pătrată
Rețineți că definiția unei matrici simetrice se bazează pe matrici pătrate. Astfel, fiecare matrice simetrică are același număr de rânduri ca și numărul de coloane.
Fiecare matrice simetrică este egală cu transpunerea ei
Dacă A este o matrice, ea transpus (\(A^T\)) este definită ca matricea ale cărei rânduri sunt coloanele lui A și ale cărei coloane sunt rândurile lui A. Deci, dacă A este o matrice simetrică, avem \(A=A^T\).
În matricea simetrică, elementele sunt „reflectate” în raport cu diagonala principală
La fel de \(a_{ij}=a_{ji}\) într-o matrice simetrică, elementele de deasupra diagonalei principale sunt „reflexii” ale elementelor de dedesubt a diagonalei (sau invers) în raport cu diagonala, astfel încât diagonala principală acționează ca o axă a simetrie.
Care sunt diferențele dintre matricea simetrică și matricea antisimetrică?
Dacă A este o matrice simetrică, atunci \(a_{ij}=a_{ji}\) pentru tot i și tot j, așa cum am studiat. În cazul matricei antisimetrice, situația este diferită. Dacă B este o matrice antisimetrică, atunci \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) pentru fiecare i și fiecare j.
Rețineți că acest lucru are ca rezultat \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), acesta este, elementele diagonale principale sunt zero. O consecință a acestui fapt este că transpunerea unei matrice antisimetrice este egală cu opusul ei, adică dacă B este o matrice antisimetrică, atunci \(B^T=-B\).
Exemple de matrice antisimetrice
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Vezi si: Matricea identității — matricea în care elementele diagonale principale sunt egale cu 1 și elementele rămase sunt egale cu 0
Exerciții rezolvate pe matrice simetrică
intrebarea 1
(Unicentro)
dacă matricea \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) este simetric, deci valoarea lui xy este:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rezoluţie:
Alternativa A
Dacă matricea dată este simetrică, atunci elementele în poziții simetrice sunt egale (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Prin urmare, trebuie să:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Înlocuirea primei ecuaţie în al doilea, tragem concluzia că \(y=3\), curând:
\(x=2\) Este \(xy=6\)
intrebarea 2
(UFSM) Știind că matricea \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) este egală cu transpunerea sa, valoarea lui \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rezoluţie:
Alternativa C
Deoarece matricea dată este egală cu transpunerea ei, atunci este o matrice simetrică. Astfel, elementele în poziții simetrice sunt egale (\(a_{ij}=a_{ji}\)), adică:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Prin prima ecuație, x=-6 sau x=6. Prin a treia ecuație, obținem răspunsul corect: x= -6. Prin a doua ecuație, y=11.
Curând:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Doriți să faceți referire la acest text într-o lucrare școlară sau academică? Uite:
RIZZO, Maria Luiza Alves. „Matrice simetrică”; Școala din Brazilia. Disponibil in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Accesat pe 18 iulie 2023.
Înțelegeți aici definițiile și formalizările structurii matriceale. Vedeți, de asemenea, cum să operați elementele sale și diferitele tipuri de matrice.
Faceți clic aici și aflați despre matricea de identitate, elementul neutru al înmulțirii matricei. Învață, de asemenea, cum să construiești acest tip special de matrice.
Înțelegeți ce este o matrice transpusă. Cunoașteți proprietățile unei matrice transpuse. Aflați cum să găsiți matricea transpusă a unei matrice date.
Aflați ce este simetria și aflați care sunt tipurile ei. Vezi și exemple și importanța acestui fenomen.
Matrice, Tip de matrice, Ordinea matricelor, Matrice de rânduri, Matrice de coloană, Matrice nulă, Matrice pătrat, matrice diagonală, matrice identitate, matrice opusă, matrice, matrice egală, egalitate de matrici.
Îngrijorează-te
Argoul adaptat din engleză este folosit pentru a desemna pe cineva care este privit ca neplăcut, rușinos, depășit și demodat.
Neurodiversitatea
Un termen inventat de Judy Singer, este folosit pentru a descrie marea varietate de moduri în care se comportă mintea umană.
PL de știri false
Cunoscut și ca PL2660, este un proiect de lege care stabilește mecanisme de reglementare a rețelelor sociale din Brazilia.
