bisectoare si linie perpendiculară la un segment care intersectează punctul său de mijloc. Putem construi bisectoarea perpendiculară a unui segment folosind rigla și busola. Pe o triunghi, bisectoarele sunt drepte perpendiculare pe laturile care conțin punctele lor medii. Astfel, un triunghi are trei bisectoare perpendiculare. Punctul în care aceste bisectoare se întâlnesc se numește circumcentru și constituie centrul cercului circumscris triunghiului.
Citeste si: Distanța dintre două puncte — cea mai scurtă cale între două puncte din planul cartezian
Rezumat despre bisectoare perpendiculară
Bisectoarea este Drept perpendicular pe un segment care trece prin punctul de mijloc.
Punctele unei bisectoare perpendiculare sunt echidistante de punctele de capăt ale segmentului.
Bisectoarea perpendiculară poate fi construită cu riglă și busolă.
Ecuația unei bisectoare perpendiculare poate fi determinată pe baza coordonatelor punctelor terminale ale segmentului.
Un triunghi are trei bisectoare perpendiculare, câte una față de fiecare latură.
Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi se numește circumcentru. Acest punct este centrul cercului circumscris triunghiului.
Bisectoarea unui triunghi diferă de mediană, bisectoarea și înălțimea unui triunghi.
Ce este mediatrix?
Având în vedere un segment, bisectoarea perpendiculară este dreapta perpendiculară pe segment care te interceptează punct de mijloc.
O consecință importantă a acestei definiții este aceea că toate punctele de pe o bisectoare perpendiculară sunt la aceeași distanță de punctele de capăt ale segmentului. În simbologia matematică, dacă AB este un segment și punctul P aparține bisectoarei, atunci PA = PB.
Cum se construiește bisectoarea?
Pentru a construi bisectoarea perpendiculară a unui segment, avem nevoie doar de riglă și busolă. Pașii pentru construcție sunt următorii:
Pasul 1: Având în vedere un segment AB, deschideți busola cu o lungime mai mare de jumătate din segment. Sugestie: o posibilitate este să utilizați lungimea segmentului în sine.
Pasul 2: trage unul circumferinţă cu centrul la un capăt al segmentului și raza cu măsura aleasă la pasul 1.
Pasul 3: Repetați pasul 2 pentru celălalt capăt al segmentului.
Pasul 4: Uniți punctele de intersecție ale cercurilor cu rigla.
Cum se află ecuația bisectoarei?
Deoarece bisectoarea perpendiculară este o dreaptă, putem determina a ecuaţie care descrie punctele tale, ființa r linia care conține un segment AB dat, s bisectoarea acestui segment și P (X y) orice punct de pe bisectoarea perpendiculară.
Presupunând că coordonatele punctelor A Este B sunt cunoscute, putem obține coeficientul unghiular n a dreptei r. La fel de r Este s sunt perpendiculare, panta m a dreptei s (bisectoarea perpendiculară) poate fi găsită și, deoarece este opusul inversului multiplicativ al n. Folosind expresia pentru ecuația fundamentală a dreptei, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), pe ce \(M(x\_0,y\_0)\) este punctul de mijloc al AB, am completat ecuația bisectoarei.
Exemplu:
Determinați ecuația bisectoare a segmentului determinat de punctele A(1,2) și B(3,6).
Rezoluţie:
Mai întâi, să luăm panta n a dreptei r care contine segmentul AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Acum căutăm punctul de mijloc M al segmentului AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Amintiți-vă că bisectoarea perpendiculară s dorit este perpendicular pe linie r (care conține segmentul AB). Apoi, coeficientul unghiular m a dreptei s și coeficientul unghiular n a dreptei r sunt legate astfel:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Prin urmare, \( m_s=\frac{-1}2\).
În cele din urmă, folosim ecuația fundamentală a dreptei pentru a determina bisectoarea s, o dreaptă care are panta egală cu \(-\frac{1}2\) și trece prin punctul (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
bisectoarea unui triunghi
Cele trei laturi ale unui triunghi sunt segmente de linie. Astfel, termenul „bisectoarea unui triunghi” se referă la bisectoarea uneia dintre laturile acestei figuri geometrice. Prin urmare, triunghiulare trei bisectoare. Vezi mai jos:
Punctul în care bisectoarele unui triunghi se întâlnesc se numește circumcentru., deoarece este centrul cercului circumscris triunghiului (adică cercul care trece prin cele trei vârfuri ale triunghiului).
Important:Deoarece circumcentrul este un punct comun celor trei bisectoare perpendiculare, distanța sa de la fiecare dintre vârfuri este aceeași. În simbologia matematică, dacă D este circumcentrul triunghiului ABC, apoi \(AD=BD=CD\).
Diferențele dintre bisectoare, mediană, bisectoare și înălțimea unui triunghi
Bisectoarea, mediana, bisectoarea și înălțimea unui triunghi sunt concepte diferite. Să ne uităm la fiecare în parte și apoi împreună.
Bisectoarea unui triunghi: este dreapta perpendiculară pe una dintre laturile care intersectează punctul său de mijloc.
Mediana unui triunghi: este segmentul cu capete la un vârf al triunghiului și la mijlocul laturii opuse vârfului.
Bisectoarea unui triunghi: este segmentul care împarte în jumătate din unghiuri laturile triunghiului, cu capetele la unul dintre vârfuri și pe partea opusă.
Înălțimea unui triunghi: este segmentul perpendicular pe una dintre laturile cu capătul la unghiul opus laturii.
În imaginea următoare, evidențiem, în raport cu segmentul BC al triunghiului, înălțimea (linia punctată liniuță în portocaliu), bisectoarea (linia punctată în violet), mediana (linia punctată în verde) și bisectoarea perpendiculară (linia continuă în roșu).
Important: Pe o triunghi echilateral, adică care are cele trei laturi și trei unghiuri egale, bisectoarele, medianele, bisectoarele și înălțimile coincid. În consecință, cel puncte notabile ale unui triunghi (circumcentrul, baricentrul, incentrul și ortocentrul) coincid și ele. În imaginea de mai jos, evidențiem, în raport cu segmentul BC, bisectoarea, mediana, bisectoarea și înălțimea într-o linie neagră continuă. Punctul evidențiat E este așadar circumcentrul, baricentrul, incentrul și ortocentrul triunghiului ABC.
Vezi si: Relații metrice în triunghiul echilateral înscris - care sunt acestea?
Exerciții rezolvate pe bisectoare
intrebarea 1
Luați în considerare afirmațiile de mai jos.
i. Bisectoarea unui triunghi este segmentul care începe la un vârf și traversează punctul de mijloc al laturii opuse.
II. Punctul în care bisectoarele unui triunghi se întâlnesc se numește circumcentru. Acest punct este centrul cercului circumscris triunghiului și echidistant de vârfuri.
III. Bisectoarea unui segment este dreapta perpendiculară care intersectează segmentul la mijloc.
Care alternativă conține cea corectă(e)?
A) Doar eu.
B) II, numai.
C) III, numai.
D) I și II.
E) II și III.
Rezoluţie:
Alternativa E
Afirmația I este singura incorectă, deoarece descrie mediana unui triunghi.
intrebarea 2
(Enem — adaptat) În ultimii ani, televiziunea a suferit o adevărată revoluție în ceea ce privește calitatea imaginii, sunetul și interactivitatea cu telespectatorul. Această transformare se datorează conversiei semnalului analogic în semnal digital. Cu toate acestea, multe orașe încă nu au această nouă tehnologie. Căutând să aducă aceste beneficii în trei orașe, un post de televiziune intenționează să construiască un nou turn de transmisie care să transmită un semnal către antenele A, B și C, deja existente în aceste orașe. Locațiile antenei sunt reprezentate în plan cartezian:
Turnul trebuie să fie amplasat echidistant de cele trei antene. Locul potrivit pentru construirea acestui turn corespunde punctului de coordonate
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Rezoluţie:
Alternativa E
Rețineți că locația turnului trebuie să fie circumcentrul triunghiului format din punctele A, B și C, deoarece este locația echidistantă a celor trei antene.
Coordonatele pentru turnul T sunt\( (x_t, y_t )\). Deoarece T aparține bisectoarei lui AB (dată de linia x = 50), locația orizontală a turnului trebuie să fie \(x_t=50\).
Pentru a determina coordonatele orizontale \(YT\) a turnului, putem folosi expresia pentru distanța dintre două puncte de două ori. Deoarece turnul este echidistant, de exemplu, de vârfurile A și C (AT = CT), avem:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Simplificând, obținem \(y_t=30\).
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
