O apotema al unui poligon este un segment cu capete în centrul poligonului și la mijlocul uneia dintre laturi. Acest segment formează un unghi de 90° cu latura respectivă a poligonului.
Pentru a calcula măsura apotemului, este necesar să se ia în considerare caracteristicile poligonului în cauză. În funcție de forma geometrică, se poate construi o formulă pentru a obține această măsură. O observație importantă este că măsura apotemului unui poligon regulat este egală cu măsura razei circumferinței înscrise în poligon.
Citeste si: Ce este bisectoarea?
Subiectele acestui articol
- 1 - Rezumat despre apotema
- 2 - Exemple de apotem
-
3 - Care sunt formulele apotemului?
- Formula apotema triunghiului echilateral
- Apotema formulei pătrate
- Formula apotema hexagonală obișnuită
- Formula apotema piramidei
- 4 - Cum se calculează apotema?
- 5 - Exerciții rezolvate pe apotem
Rezumat despre apotema
Apotema este segmentul unui poligon care leagă centrul (punctul de întâlnire al bisectoarelor perpendiculare) de punctul de mijloc al uneia dintre laturi.
Unghiul dintre apotema și latura respectivă a poligonului măsoară 90°.
Măsura apotema unui poligon regulat este egală cu măsura razei cercului înscris în poligon.
Apotema OM a unui triunghi echilateral de latură l este dat de formula
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotema OM a unui pătrat de latură l este dat de formula
\(OM = \frac{l}2\)
Apotema OM a unui hexagon regulat pe o parte l este dat de formula
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotema unei piramide este segmentul care unește vârful de mijlocul uneia dintre muchiile bazei, iar măsura sa poate fi obținută prin teorema lui Pitagora.
Nu te opri acum... Mai sunt dupa publicitate ;)
Exemple de apothem
Pentru a găsi apotema unui poligon, trebuie să construim segment de linie care unește centrul poligonului cu mijlocul uneia dintre laturi. Amintiți-vă că centrul unui poligon este locul în care bisectoarele se întâlnesc.
În aceste exemple, apotema a fost considerată în poligoane plane. Cu toate acestea, există un obiect spațial care are un alt tip de apotemă: piramida.
Într-o piramidă, există două tipuri de apotema: apotema bazei, care este apotema poligonului care formează baza piramidei, și apotema piramidei, care este segment care unește vârful de punctul de mijloc al muchiei bazei (adică este înălțimea unei fețe laterale a bazei). piramidă).
În exemplul de bază pătrată de mai jos, segmentul OM este apotema bazei și segmentul VM este apotema piramidei, M fiind punctul de mijloc al lui BC.
Care sunt formulele pentru apotema?
Cunoscând caracteristicile unui poligon, în special ale poligoanelor regulate, putem dezvolta formule pentru calcularea măsurii apotemului. Să vedem care sunt aceste formule pentru principalele poligoane regulate.
Formula apotema triunghiului echilateral
La cazul triunghiului echilateral, înălțimea și mediana față de o latură dată sunt aceleași. Aceasta înseamnă că centrul poligonului coincide cu bariccentrul a triunghiului. Astfel, punctul O împarte înălțimea AM după cum urmează:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Este \(OM=\frac{1}3 AM\)
Amintiți-vă că măsura de înălțimea unui triunghi echilateral l este dat de:
\(Înălțime\ triunghi\ echilateral=\frac{l\sqrt3}2\)
Prin urmare, întrucât AM este înălțimea triunghiului echilateral ABC și segmentul OM este apotema triunghiului, putem elabora următoarea expresie pentru măsura lui OM, având în vedere că latura triunghiului măsoară l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotema formulei pătrate
În cazul pătratului, măsura apotemului corespunde cu jumătate din lungimea laturii. Astfel, dacă O este centrul pătratului, M este punctul de mijloc al uneia dintre laturi și l este lungimea laturii pătratului, deci formula pentru apotema OM este
\(OM=\frac{l}2\)
Formula apotema hexagonală obișnuită
În hexagonul regulat, apotema corespunde înălțimii unui triunghi echilateral cu vârfuri la două capete ale uneia dintre laturi și în centrul poligonului. În exemplul de mai jos, apotema OM a hexagonului regulat este înălțimea triunghiului echilateral OCD, unde M este punctul de mijloc al CD.
După cum am menționat anterior, altitudinea unui triunghi echilateral este cunoscută. Astfel, dacă latura unui hexagon obișnuit măsoară l, atunci formula pentru apotema OM este
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formula apotema piramidei
Măsura apotemului piramidei poate fi obținută cu Ajutor teorema lui Pitagora. În exemplul de mai jos, într-o piramidă pătrată, triunghiul VOM este un dreptunghi, cu catetele VO și OM și ipotenuza VM. Rețineți că VO este înălțimea piramidei, OM este apotema bazei și VM este apotema piramidei.
Astfel, pentru a determina măsura apotemei piramidei, trebuie să aplicăm teorema lui Pitagora:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Atent! VM este înălțimea unui triunghi isoscel, nu a unui triunghi echilateral. Deci, în acest caz, nu putem folosi formula pentru înălțimea unui triunghi echilateral.
Cum se calculează apotema?
Pentru a calcula apotema unui poligon sau a piramidei, putem folosi formulele construite sau putem asocia apotema cu raza cercului înscris.
Exemplul 1: Să presupunem că un cerc cu raza de 3 cm este înscris într-un triunghi echilateral. Care este măsura apotema acestui triunghi?
Deoarece apotema unui poligon are aceeași măsură cu raza cercului înscris, apotema triunghiului măsoară 3 cm.
Exemplul 2: Care este măsura apotema unui hexagon regulat cu latura de 4 cm?
Folosind formula pentru apotema unui hexagon regulat cu \(l=4\) cm, trebuie
\(Măsurarea\ de\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Citeste si: Totul despre punctele notabile ale unui triunghi
Exerciții rezolvate pe apotem
intrebarea 1
Dacă o piramidă de 4 cm înălțime are o apotema de bază de 3 cm, atunci măsurarea apotemei piramidei este
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Rezoluţie:
Într-o piramidă, putem construi un triunghi dreptunghic în care un catet este apotema bazei, celălalt catet este înălțimea piramidei și ipotenuza este apotema piramidei. Astfel, aplicând teorema lui Pitagora la ipotenuza măsurării x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativa A.
intrebarea 2
Dacă apotema unui pătrat este y cm, atunci latura pătratului este
cel) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Rezoluţie
Apotema unui pătrat are jumătate din lungimea laturii pătratului. Prin urmare, dacă apotema măsoară y cm, pătratul măsoară 2y cm.
Alternativa D.
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Doriți să faceți referire la acest text într-o lucrare școlară sau academică? Uite:
RIZZO, Maria Luiza Alves. „Apotema”; Școala din Brazilia. Disponibil in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Accesat 16 mai 2023.
Înțelegeți ce este baricentrul unui triunghi și cum să îl calculați în plan cartezian, pe lângă verificarea proprietăților acestuia.
Faceți clic și aflați cum să construiți poligoane circumscrise și aflați mai multe despre această relație cu circumferința.
Înțelegeți ce este un hexagon și cunoașteți clasificările, caracteristicile și proprietățile acestuia. Învață, de asemenea, formulele pentru a-i calcula aria și perimetrul.
Faceți clic aici, aflați care este bisectoarea perpendiculară și aflați cum să o construiți. Învață, de asemenea, diferențele dintre bisectoarea perpendiculară, mediana, bisectoarea și înălțimea unui triunghi.
Înțelegeți ce este o piramidă și vedeți elementele ei principale. Consultați diferitele tipuri de piramide și cum să le calculați volumul și aria.
Aflați ce este un poligon regulat și diferențiați poligoanele regulate de poligoane neregulate. De asemenea, calculați aria și perimetrul unui poligon obișnuit.
Aflați cum să calculați punctul de mijloc al unui segment de linie folosind Geometria Analitică!
Vedeți aici punctele notabile ale unui triunghi și aflați principalele sale proprietăți. Vedeți și cum aceste puncte pot facilita rezolvarea unor probleme.
Faceți clic pentru a afla ce sunt pătratele, caracteristicile lor comune altor figuri geometrice și proprietățile lor specifice.
Teorema lui Pitagora este unul dintre cele mai importante instrumente în studiul triunghiurilor. Faceți clic aici, aflați despre formula sa și aflați cum să o aplicați!
