A zona de diamante este măsurarea regiunii sale interioare. O modalitate de a calcula suprafața a unui romb este de a determina jumătatea produsului dintre diagonala mai mare și diagonala mai mică, ale cărei măsuri sunt reprezentate de D Este d respectiv.
Citeste si: Cum se calculează aria unui pătrat?
Rezumat despre zona rombului
Un romb este un paralelogram cu patru laturi congruente și unghiuri congruente opuse.
Cele două diagonale ale unui romb sunt cunoscute ca diagonala mai mare (D) și diagonală mai mică (d).
Fiecare diagonală a unui romb împarte acel poligon în două triunghiuri congruente.
Cele două diagonale ale rombului sunt perpendiculare și se intersectează la mijlocul lor.
Formula pentru calcularea ariei rombului este:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
elemente romb
diamantul este un paralelogram format de patru laturi de lungime egală și unghiuri opuse de aceeasi masura. În diamantul de mai jos, avem \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\pălă{P}=\pălă{R}\) Este \(\pălă{Q}=\pălă{S}\).
Segmentele cu capete la vârfuri opuse sunt diagonalele rombului. În imaginea de mai jos, numim segmentul \(\overline{PR}\) în diagonala mai mare și segmentul \(\overline{QS}\) în diagonală mai mică.
Proprietățile diagonale ale rombului
Să cunoaștem două proprietăți legate de diagonalele rombului.
Proprietatea 1: Fiecare diagonală împarte rombul în două triunghiuri isoscele congruente.
Luați în considerare mai întâi diagonala mai mare \(\overline{PR}\) a unui romb PQRS lângă l.
realiza asta \(\overline{PR}\) Împărțiți rombul în două triunghiuri: PQR Este PSR. Inca:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) este partea comună.
Astfel, după criteriul LLL, triunghiurile PQR Este PSR sunt congruente.
Acum luați în considerare diagonala mai mică \(\overline{QS}\).
realiza asta \(\overline{QS} \) Împărțiți rombul în două triunghiuri: PQS Este RQS. Inca:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) este partea comună.
Astfel, după criteriul LLL, triunghiurile PQS Este RQS sunt congruente.
Proprietatea 2: Diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se intersectează una la mijlocul celeilalte.
Unghiul format de diagonale \(\overline{PR}\) Este \(\overline{QS}\) măsoară 90°.
EsteO punctul de întâlnire al diagonalelor \(\overline{{PR}}\) Este \(\overline{{QS}}\); ca aceasta, O este punctul de mijloc al \(\overline{PR}\) și este, de asemenea, punctul de mijloc al \(\overline{QS}\). dacă \( \overline{PR}\)dă-mi D Este \(\overline{QS}\) dă-mi d, Aceasta înseamnă că:
\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)
Observare: Cele două diagonale ale unui romb împart această figură în patru triunghiuri dreptunghiulare congruente. luați în considerare triunghiurile PQO, RQO, PSO Este RSO. Rețineți că fiecare are o latură de măsurare. l (ipotenuza), una de măsură \(\frac{D}{2}\) si o alta masura \(\frac{d}{2}\).
Vezi si: Comparația și asemănarea dintre triunghiuri
formula ariei rombului
Este D lungimea diagonalei mai mari şi d măsura diagonalei mai mici a unui romb; Formula pentru aria rombului este:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
Mai jos este o demonstrație a acestei formule.
Conform primei proprietăți pe care am studiat-o în acest text, diagonala \(\overline{QS}\) împărțiți diamantul PQRS în două triunghiuri congruente (PQS Este RQS). Aceasta înseamnă că aceste două triunghiuri au aceeași zonă. Prin urmare, aria rombului este de două ori mai mare decât aria unuia dintre aceste triunghiuri.
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times A_{triunghi} PQS\)
Conform celei de-a doua proprietăți pe care am studiat-o, baza triunghiului PQS dă-mi d iar înălțimea măsoară D2. Amintiți-vă că aria unui triunghi poate fi calculată prin bază × înălțime2. Curând:
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times A_{triunghi} PQS\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
Cum se calculează aria unui romb?
După cum am văzut, dacă sunt informate măsurile diagonalelor, este suficient aplicați formula pentru a calcula aria unui romb:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
În caz contrar, trebuie să adoptăm alte strategii, luând în considerare, de exemplu, proprietățile acestui poligon.
Exemplul 1: Care este aria unui romb ale cărui diagonale măsoară 2 cm și 3 cm?
Aplicând formula, avem:
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=3 cm²\)
Exemplul 2: Care este aria unui romb a cărui latură și, respectiv, diagonală mai mică măsoară, 13 cm si 4 cm?
Prin respectarea proprietății 2, diagonalele unui romb împart acest poligon în patru triunghiuri dreptunghiulare congruente. Fiecare triunghi dreptunghic are catete de măsură \(\frac{d}{2}\) Este \(\frac{D}{2}\) și măsoară ipotenuza l. După teorema lui Pitagora:
\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)
înlocuind \(d=4 cm\) Este d=4 cm, trebuie
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
La fel de D este măsura unui segment, putem considera doar rezultatul pozitiv. adica:
D=6
Aplicând formula, avem:
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\ 12 cm²\)
Aflați mai multe: Formule folosite pentru a calcula aria figurilor plane
Exerciții pe zona rombului
intrebarea 1
(Fauel) Într-un romb, diagonalele măsoară 13 și 16 cm. Care este măsurarea zonei tale?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Rezoluţie: alternativa C
Aplicând formula, avem:
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\ 104 cm²\)
intrebarea 2
(Fepese) O fabrică produce piese ceramice în formă de diamant, a căror diagonală mai mică măsoară un sfert din diagonala mai mare, iar diagonala mai mare măsoară 84 cm.
Prin urmare, suprafața fiecărei piese ceramice produsă de această fabrică, în metri pătrați, este:
a) mai mare de 0,5.
b) mai mare de 0,2 și mai mic de 0,5.
c) mai mare de 0,09 și mai mică de 0,2.
d) mai mare de 0,07 și mai mic de 0,09.
e) mai mic de 0,07.
Rezoluţie: alternativa D
dacă D este diagonala mai mare și d este diagonala mai mică, atunci:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(d=21 cm\)
Aplicând formula, avem
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=882 cm²\)
Cum îi corespunde 1 cm² \(1\cdot{10}^{-4} m²\), apoi:
\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)
\(x=0,0882 m²\)
De Maria Luiza Alves Rizzo
Profesor de matematica
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm
