Matricea transpusă: ce este, proprietăți, exemple

THE matricea transpusă a matricei M este matricea M^t. este vorba despre sediu că vom obține când rescriem matricea M schimbând poziția rândurilor și coloanelor, transformând primul rând al lui M în prima coloană a lui M^t, al doilea rând al lui M în a doua coloană a lui M^t, și așa mai departe.

Dacă matricea M are m linii și Nu coloane, matricea sa transpusă, adică M^t, vom avea Nu linii și m coloane. Există proprietăți specifice pentru matricea transpusă.

Citește și: Ce este o matrice triunghiulară?

Cum se obține matricea transpusă?

Dat fiind o matrice A_mxn, știm ca matricea transpusă de la A la matricea A^t_{n x m}. Pentru a găsi matricea transpusă, trebuie doar să schimbați poziția a rândurilor și coloanelor matricei A. Oricare ar fi primul rând al matricei A va fi prima coloană a matricei A transpuse^t, al doilea rând al matricei A va fi a doua coloană a matricei A^t, și așa mai departe.

Algebric, să fie M = (m_ij)_mxn, matricea transpusă a lui M este M^t = (m_ji) _{n x m}.

Exemplu:

Găsiți matricea transpusă din matrice:

instagram story viewer

Matricea M este o matrice 3x5, deci transpunerea acesteia va fi 5x3. Pentru a găsi matricea transpusă, vom face din primul rând al matricei M prima coloană a matricei M^t.

Al doilea rând al matricei M va fi a doua coloană a matricei transpuse:

În cele din urmă, al treilea rând al matricei M va deveni a treia coloană a matricei M.^t:

matricea simetrică

Pe baza conceptului de matrice transpusă, este posibil să se definească ce este o matrice simetrică. O matrice este cunoscută sub numele de simetrică când este egal cu matricea transpusă, adică având în vedere matricea M, M = M^t.

Pentru ca asta să se întâmple, matricea trebuie să fie pătrată, ceea ce înseamnă că pentru ca matricea să fie simetrică, numărul de rânduri trebuie să fie egal cu numărul de coloane.

Exemplu:

Când analizăm termenii de deasupra diagonalei principale și termenii de sub diagonala principală din matricea S, este posibil să vedem că există termeni care sunt la fel, ceea ce îl face cunoscut ca simetric exact datorită simetriei matricei în raport cu diagonala principală.

Dacă găsim transpunerea matricei S, este posibil să vedem că S^t este egal cu S.

Ca S = S^t, această matrice este simetrică.

Vezi și: Cum se rezolvă sisteme liniare?

Proprietăți ale matricei transpuse

Prima proprietate: transpunerea unei matrice transpuse este egală cu matricea însăși:

(M^t)^t = M

A doua proprietate: transpunerea sumei dintre matrici este egală cu suma transpunerii fiecăreia dintre matrici:

(M + N)^t = M^t+ N^t

A treia proprietate: transpunerea de multiplicare între două matrice este egal cu înmulțirea transpunerii fiecăreia dintre matrici:

(M · N)^t = M^t · N^t

A 4-a proprietate: O determinant al matricei este egal cu determinantul matricei transpuse:

det (M) = det (M^t)

A 5-a proprietate: matricea transpune ori constanta este egală cu matricea transpune ori constanta:

(kA)^t = kA^t

Matrice inversă

Conceptul de matrice inversă este destul de diferit de conceptul de matrice transpus și este important să subliniem diferența dintre ele. Matricea inversă a unei matrice M este matricea M^-1, unde produsul dintre matricile M și M^-1 este egal cu matricea identității.

Exemplu:

Pentru a afla mai multe despre acest tip de matrice, citiți textul nostru: Matrice inversă.

matrice opusă

Fiind un alt caz al unei matrice speciale, matricea opusă matricei M este matricea -M. Știm ca matricea opusă a lui M = (m_ij) matricea -M = (-m_ij). Matricea opusă este compusă din termenii opuși ai matricei M.