THE Ecuația de gradul I este o ecuație care are o necunoscută de gradul 1. Ecuațiile sunt propoziții matematice care au necunoscute, care sunt litere care reprezintă valori necunoscute și egalitate. Propoziţia matematică a ecuaţiei de gradul I este Thex + B = 0, unde The și B sunt numere reale și The este diferit de 0. Scopul scrierii unei ecuații de gradul I este de a afla care este valoarea necunoscutului care satisface ecuația. Această valoare este cunoscută ca soluție sau rădăcină a ecuației.
Citeste si: Ecuație exponențială — ecuația care are cel puțin o necunoscută într-unul dintre exponenții săi
Subiecte din acest articol
- 1 - Rezumatul ecuației de gradul I
- 2 - Ce este o ecuație de gradul I?
-
3 - Cum se calculează ecuația de gradul I?
- → Ecuație de gradul I cu o necunoscută
- ? Ecuație de gradul I cu două necunoscute
- 4 - Ecuația gradului I la Enem
- 5 - Exerciții rezolvate pe ecuația de gradul I
Rezumatul ecuației de gradul I
Ecuația de gradul I este o propoziție matematică care are necunoscute de 1 grad.
Ecuația de gradul I cu o necunoscută are o soluție unică.
Propoziția matematică care descrie ecuația de gradul I cu o necunoscută este Thex + B = 0.
Pentru a rezolva o ecuație de gradul I cu o necunoscută, efectuăm operații pe ambele părți ale egalității, pentru a izola necunoscuta și a găsi valoarea acesteia.
Ecuația de gradul I cu două necunoscute are soluții infinite.
Propoziția matematică care descrie ecuația de gradul I cu două necunoscute este Thex + By + c = 0
Ecuația de gradul I este un termen recurent în Enem, care vine de obicei cu întrebări care necesită interpretarea textului și asamblarea ecuației înainte de a o rezolva.
Ce este ecuația de gradul 1?
Ecuația este o propoziție matematică care are o egalitate și una sau mai multe necunoscute.. Necunoscutele sunt valori necunoscute și folosim litere, cum ar fi x, y, z, pentru a le reprezenta.
Ceea ce determină gradul unei ecuații este exponentul necunoscutului. Prin urmare, când exponentul necunoscutului are gradul 1, avem o ecuație de gradul I. Vezi mai jos exemple:
2x + 5 = 9 (ecuația de gradul 1 cu o necunoscută, x)
y – 3 = 0 (ecuația de gradul 1 cu o necunoscută, y)
5x + 3y – 3 = 0 (ecuația de gradul I cu două necunoscute, x și y)
Nu te opri acum... Mai sunt după reclamă ;)
Cum se calculează ecuația de gradul întâi?
Reprezentăm o situație dată ca o ecuație atunci când ne propunem găsiți valorile pe care necunoscutul le poate lua, ceea ce face ca ecuația să fie adevărată, adică găsiți soluțiile sau soluția ecuației. Să vedem mai jos cum să găsim soluția unei ecuații de gradul 1 cu o necunoscută și soluțiile unei ecuații de gradul 1 cu două necunoscute.
→ Ecuație de gradul I cu o necunoscută
THE Ecuație de gradul I cu o necunoscută este ecuația de tipul:
\(ax+b=0\ \)
În acea propoziție, The și B sunt numere reale. Folosim simbolul egalității ca referință. Înaintea acestuia avem primul membru al ecuației și după semnul egal avem al 2-lea membru al ecuației.
Pentru a găsi soluția acestei ecuații, căutăm să izolam variabila x. hai sa scadem B de ambele părți ale ecuației:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Acum ne vom împărți la The de ambele părți:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Important:Acest proces de efectuare a unei acțiuni de ambele părți ale ecuației este adesea descris ca „trecerea de cealaltă parte” sau „trecerea de cealaltă parte făcând operația inversă”.
Exemplul 1:
Găsiți soluția ecuației:
2x - 6 = 0
Rezoluţie:
Pentru a izola variabila x, să adăugăm 6 la ambele părți ale ecuației:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Acum, vom împărți la 2 din ambele părți:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Găsim ca soluție a ecuației x = 3. Aceasta înseamnă că dacă înlocuim 3 în locul lui x, ecuația va fi adevărată:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Exemplul 2:
Putem rezolva ecuația mai direct folosind metoda practică:
\(5x+1=-\ 9\)
Mai întâi, să definim care este primul membru al ecuației și care este al doilea membru al ecuației:
Pentru a găsi soluția ecuației, vom izola necunoscuta pe primul membru al ecuației. Pentru aceasta, ceea ce nu este necunoscut va fi trecut celui de-al doilea membru care face operația inversă, începând cu + 1. Pe măsură ce se adaugă, va trece celui de-al doilea membru scăzând:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Vrem valoarea lui x, dar găsim valoarea lui 5x. Deoarece 5 înmulțește x, va trece în partea dreaptă făcând operația inversă a lui multiplicare, adică împărțirea.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
Soluția acestei ecuații este x = - 2.
Exemplul 3:
Rezolvați ecuația:
\(5x+4=2x-6\)
Pentru a rezolva această ecuație, vom pune inițial termenii care au necunoscută pe primul membru, iar termenii care nu au necunoscută pe al doilea membru. Pentru a face acest lucru, să le identificăm:
\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ –\ 6\)
În roșu sunt termenii care au o necunoscută, 5x și 2x, iar în negru, termenii care nu au necunoscută. Deoarece + 4 nu are necunoscută, să-l trecem celui de-al doilea membru prin scădere.
\(\color{red}{5x}=\color{red}{2x}-6-4\)
Rețineți că 2x are o necunoscută, dar se află în al doilea membru. Îl vom transmite primului membru, scăzând 5x:
\({\color{red}{5x}-\color{red}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Acum, trecând de împărțirea 3, avem că:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Important: Soluția unei ecuații poate fi o fracție, ca în exemplul de mai sus.
◆ Lecție video despre ecuația de gradul I cu o necunoscută
➝ Ecuație de gradul I cu două necunoscute
Când există o ecuație de gradul I care are două necunoscute, nu există o singură soluție, ci mai degrabă soluții infinite. O ecuație de gradul I cu două necunoscute este o ecuație de tipul:
\(ax+by+c=0\)
Pentru a găsi unele dintre soluțiile infinite ale ecuației, atribuim o valoare uneia dintre variabilele sale și găsim valoarea celeilalte variabile.
Exemplu:
Găsiți 3 soluții posibile ale ecuației:
\(2x+y+3=0\)
Rezoluţie:
Pentru a găsi 3 soluții, vom alege câteva valori pentru variabila x, începând cu x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Izolând y în primul membru, avem că:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Deci, o posibilă soluție a ecuației este x = 1 și y = - 5.
Pentru a găsi încă o soluție a ecuației, să atribuim o nouă valoare oricărei variabile. Vom face y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Izolarea x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
A doua soluție a acestei ecuații este x = - 2 și y = 1.
În cele din urmă, pentru a găsi o a treia soluție, vom alege o nouă valoare pentru una dintre variabilele dvs. Vom face x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\\)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
A treia soluție este x = 0 și y = -3.
Putem reprezenta aceste trei soluții ca perechi ordonate, de forma (x, y). Soluțiile găsite pentru ecuație au fost:
\(\stânga (1,-5\dreapta);\ \left(-2,\ 1\dreapta);\stânga (0,-3\dreapta)\)
Important: Deoarece această ecuație are două necunoscute, avem soluții infinite. Valorile variabilelor au fost alese aleatoriu, astfel încât să putem atribui variabilelor alte valori complet diferite și să găsim alte trei soluții pentru ecuație.
Aflați mai multe: Ecuația de gradul 2 - cum se calculează?
Ecuația de gradul I în Enem
Întrebările care implică ecuații de gradul I în Enem necesită candidatului să fie capabil transforma situatiile problema in ecuatie, folosind date de enunț. Pentru claritate, vezi competența domeniului 5 Matematică.
Domeniul 5 de competență: Modelați și rezolvați probleme care implică variabile socioeconomice sau tehnico-științifice, folosind reprezentări algebrice.
Rețineți apoi că în Enem este de așteptat ca candidatul să modeleze situații problematice din viața noastră de zi cu zi și să le rezolve folosind o ecuație. În cadrul acestei competențe, există două abilități specifice care implică ecuații pe care Enem încearcă să le evalueze: abilitatea 19 și abilitatea 21.
H19: Identificați reprezentări algebrice care exprimă relația dintre mărimi.
H21: Rezolvați o situație problemă a cărei modelare implică cunoștințe algebrice.
Deci, dacă studiezi pentru Enem, pe lângă stăpânirea rezoluției ecuațiilor de gradul I, este important să te antrenezi în interpretarea problemelor care implică ecuații, deoarece dezvoltarea capacității de a modela situații problemă prin scrierea lor ca o ecuație, pentru Enem, este la fel de importantă ca și capacitatea de a rezolva ecuaţie.
Exerciții rezolvate pe ecuația de gradul I
intrebarea 1
(Enem 2012) Curbele cererii și ofertei unui produs reprezintă, respectiv, cantitățile pe care vânzătorii și consumatorii sunt dispuși să le vândă în funcție de prețul produsului. În unele cazuri, aceste curbe pot fi reprezentate prin linii drepte. Să presupunem că cantitățile de cerere și ofertă pentru un produs sunt, respectiv, reprezentate prin ecuațiile:
QO = –20 + 4P
QD = 46 - 2P
în care QO este cantitatea de aprovizionare, QD este cantitatea cerută și P este prețul produsului.
Din aceste ecuații de cerere și ofertă, economiștii găsesc prețul de echilibru al pieței, adică atunci când QO și QD egal. Pentru situația descrisă, care este valoarea prețului de echilibru?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
Rezoluţie:
Alternativa B
Pentru a găsi prețul de echilibru, echivalăm pur și simplu cele două ecuații:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
intrebarea 2
(Enem 2010) Saritura triplă este o modalitate de atletism în care sportivul sare pe un picior, un pas și un salt, în această ordine. Săritura cu decolare pe un picior se va face astfel încât sportivul să aterizeze primul pe același picior care a dat decolarea; în pas va ateriza cu celălalt picior, din care se execută săritura.
Disponibil la: www.cbat.org.br (adaptat).
Un sportiv al modalității de triplu săritură, după ce și-a studiat mișcările, și-a dat seama că, de la a doua până la primul salt, raza de acțiune a scăzut cu 1,2 m, iar de la a treia la a doua săritură, raza de acțiune a scăzut cu 1,5 m. Dorind sa atingeti obiectivul de 17,4 m in aceasta proba si avand in vedere studiile dumneavoastra, distanta atinsa in primul salt ar trebui sa fie intre
A) 4,0 m și 5,0 m.
B) 5,0 m și 6,0 m.
C) 6,0 m și 7,0 m.
D) 7,0 m și 8,0 m.
E) 8,0 m și 9,0 m.
Rezoluţie:
Alternativa D
În primul salt, ajunge la o distanță de x metri.
La a doua saritura distanta scade cu 1,2 m fata de prima saritura, asa ca ajunge la o distanta de x – 1,2 metri.
La al treilea hop, distanța scade cu 1,5 m față de al doilea hop, deci distanța parcursă la al treilea hop este x – 1,2 – 1,5 metri, care este la fel cu x – 2,7 metri.
Știm că suma acestor distanțe trebuie să fie egală cu 17,4 metri, deci:
\(x+x-1,2+x-2,7=17,4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7,1\)
Astfel, distanța atinsă în prima săritură este cuprinsă între 7,0 și 8,0 metri.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
