Hexagon este poligon care are 6 laturi. Este regulat atunci când toate laturile și unghiurile interioare sunt congruente între ele. Este neregulat atunci când nu are aceste caracteristici. Primul caz este cel mai studiat, deoarece atunci când hexagonul este regulat, are proprietăți și formule specifice care ne permit să-i calculăm aria, perimetrul și apotema.
Citeste si: Ce este un losangle?
Rezumat despre hexagon
Hexagonul este un poligon cu 6 laturi.
Este regulat atunci când toate părțile sunt congruente.
Este neregulat atunci când toate laturile nu sunt congruente.
Într-un hexagon obișnuit, fiecare unghi interior măsoară 120°.
Suma unghiuri marginile exterioare ale unui hexagon obișnuit sunt întotdeauna 360°.
Pentru a calcula aria unui hexagon obișnuit, folosim formula:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O perimetru a unui hexagon este suma laturilor sale. Când este obișnuit, avem:
P = 6L
Apotema unui hexagon regulat se calculează prin formula:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Ce este hexagonul?
Hexagon este orice poligon care
are 6 laturi, deci 6 vârfuri și 6 unghiuri. Fiind un poligon, este o figură plată închisă cu laturile care nu se intersectează. Hexagonul este o formă recurentă în natură, ca în fagurii, în structurile Chimie organica, în carapacele anumitor țestoase și în fulgi de zăpadă.Lecție video despre poligoane
elemente hexagonale
Un hexagon este format din 6 laturi, 6 vârfuri și 6 unghiuri interioare.
vârfuri: punctele A, B, C, D, E, F.
laturi: segmentele \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Unghiuri interne: unghiurile a, b, c, d, f.
Clasificarea hexagoanelor
Hexagoanele, ca și alte poligoane, pot fi clasificate în două moduri.
hexagon obișnuit
Hexagonul este regulat atunci când are toate laturile sale congruente — în consecință, unghiurile lor vor fi și ele congruente. Hexagonul regulat este cel mai important dintre toate, fiind cel mai studiat. Este posibil să se calculeze mai multe dintre aspectele sale, cum ar fi zona, cu formule specifice.
Observare: Hexagonul obișnuit poate fi împărțit în 6 triunghiuri echilaterale, adică triunghiuri cu toate laturile egale.
→ hexagon neregulat
Hexagonul neregulat este unul care are laturi cu diferite masuri. Poate fi convex sau neconvex.
hexagon neregulat convex
hexagonul este convex când ai toate unghiuri interioare mai mici de 180°.
→ Hexagon neconvex neregulat
Un hexagon este neconvex atunci când are unghiuri interioare mai mari de 180°.
proprietățile hexagonului
→ Numărul de diagonale dintr-un hexagon
Prima proprietate importantă este aceea într-un hexagon convex, există întotdeauna 9 diagonale. Putem găsi aceste 9 diagonale geometric:
De asemenea, putem găsi diagonalele algebric, folosind următoarea formulă:
\(d=\frac{n\stânga (n-3\dreapta)}{2}\)
Dacă înlocuim 6 în ecuație, avem:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Deci un hexagon convex va avea întotdeauna 9 diagonale.
Aflați mai multe: Diagonala bloc dreptunghiulară — segment care leagă două dintre vârfurile sale care nu sunt pe aceeași față
→ Unghiurile interioare ale unui hexagon
Într-un hexagon, suma unghiurilor sale interioare este de 720°. Pentru a realiza această sumă, pur și simplu înlocuiți 6 în formula:
\(S_i=180\stânga (n-2\dreapta)\)
\(S_i=180\stânga (6-2\dreapta)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Într-un hexagon obișnuit, unghiurile interioare vor măsura întotdeauna 120° fiecare, deoarece
720°: 6 = 120°
→ Unghiurile exterioare ale unui hexagon regulat
În ceea ce privește unghiurile exterioare, știm că Suma lor este întotdeauna egală cu 360°. Deoarece există 6 unghiuri exterioare, fiecare dintre ele va măsura 60°, ca
360°: 6 = 60°
→ Apotema hexagonală obișnuită
O apotema a unui poligon regulat este considerată a fisegment de linie legând centrul poligonului de punct de mijloc pe partea ta. După cum știm, hexagonul regulat este compus din 6 triunghiuri echilaterale, deci apotema corespunde înălțimii unuia dintre aceste triunghiuri echilaterale. Valoarea acestui segment poate fi calculată prin formula:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ perimetrul hexagonului
Pentru a calcula perimetrul unui hexagon, pur și simplu efectuați suma celor 6 laturi ale sale. Când hexagonul este regulat, laturile sale sunt congruente, deci este posibil să se calculeze perimetrul hexagonului folosind formula:
P = 6L
→ zona hexagonală obișnuită
Deoarece știm că hexagonul obișnuit este compus din 6 triunghiuri echilaterale de laturi care măsoară L, este posibil să se obțină o formulă pentru calculul ariei sale, folosind calculul zona de unu triunghi echilateral înmulțit cu 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Rețineți că este posibil să simplificare împărțirea la 2, apoi generând formula pentru calcularea ariei hexagonului:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Hexagon înscris într-un cerc
Spunem că un poligon este înscris în a circumferinţă când el este în interiorul cercului, iar vârfurile sale sunt puncte ale acestuia. Putem reprezenta hexagonul regulat înscris într-un cerc. Când facem această reprezentare, este posibil să verificăm că lungimea razei cercului este egală cu lungimea laturii hexagonului.
De asemenea, știu: Cercul și circumferința — Care este diferența?
Hexagon circumscris într-un cerc
Spunem că un poligon este circumscris de un cerc atunci când circumferința se află în interiorul acestui poligon. Putem reprezenta hexagonul regulat circumscris. În acest caz, cercul este tangent la mijlocul fiecărei laturi a hexagonului, ceea ce face ca raza cercului să fie egală cu apotema hexagonului.
prismă pe bază hexagonală
THE Geometrie plană sta la baza studiilor de Geometrie spațială. O hexagonul poate fi prezent la baza solidelor geometrice, ca în prisme.
Pentru a afla volumul lui a prismă, calculăm produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Deoarece baza sa este un hexagon, ea volum poate fi calculat prin:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Citeste si: Volumul solidelor geometrice - cum se calculează?
Piramida de bază hexagonală
Pe lângă prisma hexagonală, exista si cele piramide baza hexagonala.
pentru a descoperi volumul unei piramide de bază hexagonală, calculăm produsul dintre aria bazei, înălțimea și împărțim la 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Rețineți că înmulțim și împărțim la trei, ceea ce permite a simplificare. Deci, volumul unei piramide pe bază hexagonală este calculat prin formula:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Exerciții rezolvate pe hexagon
intrebarea 1
Un pământ are forma unui hexagon obișnuit. Doriți să înconjurați această zonă cu sârmă ghimpată, astfel încât sârma să ocolească teritoriul de 3 ori. Știind că, în total, au fost cheltuiți 810 de metri de sârmă pentru a îngrădi întregul teren, aria acestui hexagon măsoară, aproximativ:
(Utilizare \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 mp
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Rezoluţie:
Alternativa B
Perimetrul hexagonului regulat este
\(P=6L\)
Întrucât s-au făcut 3 ture, s-au cheltuit în total 270 de metri pentru a parcurge o singură tură, deoarece știm că:
810: 3 = 270
Deci avem:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metri\)
Cunoscând lungimea laturii, vom calcula aria:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037,5\cdot1,7\)
\(A=5163,75m^2\)
Rotunjind, obținem:
\(A\aprox.5164m^2\)
intrebarea 2
(PUC - RS) Pentru un angrenaj mecanic, vrei să faci o piesă cu formă hexagonală obișnuită. Distanța dintre laturile paralele este de 1 cm, așa cum se arată în figura de mai jos. Latura acestui hexagon măsoară ______ cm.
CEL) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Rezoluţie:
Alternativa B
În ceea ce privește hexagonul obișnuit, știm că apotema lui este măsura de la centru până la mijlocul uneia dintre laturi. Astfel, apotema este jumătate din distanța indicată în imagine. Deci, trebuie să:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotema este atunci egală cu \(\frac{1}{2}\). Există o relație între laturile hexagonului și apotema, deoarece într-un hexagon obișnuit, avem:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Deoarece știm valoarea apotemului, putem înlocui \(a=\frac{1}{2}\) in ecuatie:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Raționalizarea fracției:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
