Exerciții cu formula lui Bhaskara

Rezolvați lista de exerciții pe formula lui Bhaskara și curățați-vă îndoielile cu exerciții rezolvate și comentate.

Formula lui Bhaskara

$x cu 1 indice este egal cu numărătorul minus b spațiu plus spațiu rădăcina pătrată a incrementului peste numitorul 2 spațiu. spațiu până la sfârșitul fracției x cu 2 indice spațiu este egal cu spațiul numărător minus b spațiu minus spațiu rădăcină pătrată a incrementului peste numitorul 2 spațiu. spațiu la sfârșitul fracției$

Unde: increment egal cu b pătrat spațiu minus spațiu 4 spațiu. spatiu in spatiu. c spatiu

The este coeficientul de lângă x pătrat ,
B este coeficientul de lângă ,
ç este coeficientul independent.

Exercitiul 1

Folosind formula lui Bhaskara, găsiți rădăcinile ecuației 2 x spațiu pătrat minus spațiu 7 x spațiu plus spațiu 3 spațiu este egal cu spațiul 0 .

vezi raspunsul

Spațiul eficient este de două puncte a = 2 b = minus 7 c = 3

Determinarea deltei

increment egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu paranteza din stânga minus 7 paranteza din dreapta pătratul minus 4.2.3 incrementul este egal cu 49 spațiu minus spațiu 24 incrementul este egal cu 25

Determinarea rădăcinilor ecuației
$x cu 1 indice este egal cu numărătorul minus paranteza din stânga minus 7 spațiul din paranteza din dreapta plus spațiul rădăcină pătrată de 25 peste spațiul numitorului 2. spaţiul 2 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul 7 spaţiul plus spaţiul 5 peste numitor 4 sfârşitul fracţiei este egal cu 12 peste 4 este egal cu 3 x cu 2 indicele este egal cu numărătorul minus paranteza stângă minus 7 paranteza dreaptă spațiu minus spațiu rădăcină pătrată a lui 25 peste numitorul 2 spaţiu. spațiu 2 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul 7 spațiu minus spațiu 5 peste numitor 4 sfârșitul fracției este egal cu 2 peste 4 este egal cu 1 jumătate$

Exercițiul 2

Mulțimea soluției care face ecuația x spațiu pătrat plus spațiu 5 x spațiu minus 14 spațiu este egal cu spațiul 0 adevărat este

a) S={1,7}
b) S={3,4}
c) S={2, -7}.
d) S={4,5}
e) S={8,3}

vezi raspunsul

Răspuns corect: c) S={2, -7}.

Coeficienții sunt:
a = 1
b = 5
c = -14

Determinarea deltei
increment egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu 5 pătrat minus 4,1. paranteza stângă minus 14 paranteza dreaptă increment este egal cu 25 spațiu plus spațiu 56 increment este egal cu 81

Folosind formula lui Bhaskara

$x cu 1 indice este egal cu numărătorul minus 5 spațiu plus spațiu rădăcină pătrată de 81 peste numitorul 2 spațiu. spațiul 1 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 5 spațiu plus spațiu 9 peste numitor 2 sfârșitul fracției este egal cu 4 peste 2 este egal cu 2 x cu 2 indice este egal cu numărătorul minus 5 spațiu minus spațiu rădăcină pătrată a lui 81 peste numitorul 2 spaţiu. spaţiul 1 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 5 spaţiul minus spaţiul 9 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 14 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal cu minus 7$

Mulțimea soluție a ecuației este S={2, -7}.

Exercițiul 3

Determinați valorile lui X care satisfac ecuația paranteza stanga 4 spatiu minus spatiu x paranteza paranteza dreapta paranteza stanga 3 spatiu plus spatiu x paranteza spatiul drept este egal cu spatiu 0 .

vezi raspunsul

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, avem:

paranteza stanga 4 minus x paranteza dreapta paranteza stanga 3 plus x paranteza dreapta este egal cu 0 12 spatiu plus spațiu 4 x spațiu minus 3 x spațiu minus x pătrat este egal cu 0 minus x pătrat plus x plus 12 este egal 0

Termenii ecuației pătratice sunt:

a = -1
b = 1
c = 12

Calcularea deltei

increment egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu 1 spațiu minus spațiu 4. paranteza stanga minus 1 paranteza dreapta.12 increment este egal cu 1 plus 48 increment este egal 49

Folosind formula lui Bhaskara pentru a găsi rădăcinile ecuației:

$x cu 1 indice este egal cu numărătorul minus b plus creșterea rădăcinii pătrate peste numitorul 2. Sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 1 spațiu plus rădăcina pătrată a lui 49 peste numitorul 2. paranteza din stânga minus 1 paranteza din dreapta sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 1 spaţiu plus spaţiu 7 peste numitor minus 2 sfârşitul fracţiei este egal numărătorul 6 peste numitor minus 2 sfârșitul fracției este egal cu minus 3 x cu 2 indice este egal cu numărătorul minus b minus rădăcina pătrată a incrementului peste numitorul 2. Sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 1 spațiu minus rădăcina pătrată a lui 49 peste numitorul 2. paranteza stanga minus 1 paranteza dreapta sfarsitul fractiei este egal cu numaratorul minus 1 spatiu minus spatiu 7 peste numitor minus 2 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 8 peste numitor minus 2 sfârșitul fracției egale la 4$

Valorile lui x care satisfac ecuația sunt x = -3 și x = 4.

Exercițiul 4

Deoarece următoarea ecuație de gradul doi, 3 x spațiu pătrat plus spațiu 2 x spațiu minus spațiu 8 spațiu este egal cu 0 , găsiți produsul rădăcinilor.

instagram story viewer

vezi raspunsul

Răspuns corect: -8/3

Determinarea rădăcinilor ecuației folosind formula lui Bhaskara.

Coeficienții sunt:
a = 3
b = 2
c = -8

Delta
increment egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu 2 pătrat minus 4,3. paranteza stanga minus 8 paranteza dreapta incrementul este egal cu 4 plus 96 incrementul este egal cu 100

Calculul rădăcinilor

$x cu 1 indice este egal cu numărătorul minus b plus creșterea rădăcinii pătrate peste numitorul 2. Sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 2 spațiu plus rădăcina pătrată a 100 peste numitorul 2.3 Sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 2 spațiu plus spațiu 10 peste numitor 6 sfârşitul fracţiei este egal cu 8 peste 6 este egal cu 4 peste 3 x cu 2 indice este egal cu numărătorul minus b minus rădăcina pătrată a incrementului peste numitorul 2. Sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 2 spațiu minus rădăcina pătrată a 100 peste numitorul 2.3 Sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 2 spațiu minus spațiu 10 peste numitor 6 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 12 peste numitor 6 sfârșitul fracției este egal minus 2$

Determinarea produsului dintre rădăcini.

$x cu 1 spatiu indice. spațiu x cu 2 indice este egal cu 4 peste 3 semn de înmulțire paranteza stângă minus 2 paranteză din dreapta este egal cu 4 peste 3 semn de înmulțire numărător minus 2 peste numitor 1 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 8 peste numitor 3 sfârșitul fracției este egal cu negativ 8 cam 3$

Exercițiul 5

Clasificați ecuațiile care au rădăcini reale.

I spatiu paranteza dreapta spatiu x patrat minus spatiu x spatiu plus 1 egal 0 I I spatiu paranteza dreapta minus x patrat plus 2 x plus 3 egal 0 I I paranteza spatiu drept 4 x la puterea lui 2 spatiu sfarsitul exponential plus 6 x plus 2 este egal cu 0 spatiu I V paranteza dreapta x spatiu la patrat peste 2 plus 5 x spatiu plus 12 spatiu egal la 0

vezi raspunsul

Răspunsuri corecte: II și IV.

Nu există rădăcini reale în ecuațiile cu creştere negativ pentru că în formula lui Bhaskara este radicandul unei rădăcini pătrate și nu există rădăcină pătrată a numerelor negative în numerele reale.

I dreapta paranteză spațiu spațiu x pătrat minus spațiu x spațiu plus 1 este egal cu 0 p a râ m e tr o s spațiu a spațiu este egal cu spațiu 1 b spațiu este egal cu spațiu minus 1 c spațiu este egal cu spațiu 1 increment este egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu paranteza stângă minus 1 paranteza dreaptă pătrat minus 4.1.1 increment este egal cu 1 minus 4 increment este egal cu minus 3

Delta negativă, deci nu am o soluție reală.

I I spatiu din paranteza dreapta minus x pătrat plus 2x plus 3 este egal cu 0 a este egal cu minus 1 b este egal cu 2 c este egal cu 3 increment este egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu 2 pătrat minus 4. paranteza stanga minus 1 paranteza dreapta.3 increment este egal cu 4 plus 12 increment este egal cu 16

Delta pozitivă, deci II are o soluție reală.

I I I dreapta paranteză spațiu 4 x la puterea 2 spațiu sfârșitul exponențialului plus 6 x plus 2 este egal cu 0 spațiu a este egal cu 4 b este egal cu 6 c este egal cu 2 increment este egal cu b pătrat minus 4. The. c increment este egal cu 6 pătrat minus 4.4.2 increment este egal cu 36 spațiu minus spațiu 64 increment este egal cu minus 28

Delta negativă, deci III nu are rezoluție reală.

I V paranteză dreaptă x spațiu la pătrat peste 2 plus 5 x spațiu plus 12 spațiu este egal cu 0 a este egal cu 1 jumătate b este egal cu 5 c este egal cu 12 increment este egal cu 5 pătrat minus 4,1 jumătate. 12 increment este egal cu 25 spațiu minus spațiu 24 increment este egal 1

Delta pozitivă, prin urmare IV are o soluție reală.

Exercițiul 6

Următorul grafic este determinat de funcția gradului doi x pătrat minus x spațiu minus spațiu c spațiu este egal cu spațiul 0 . Parametrul c indică punctul de intersecție al curbei cu axa y. Rădăcinile x1 și x2 sunt numerele reale care, atunci când sunt substituite în ecuație, o fac adevărată, adică ambele părți ale egalității vor fi egale cu zero. Pe baza informațiilor și a graficului, determinați parametrul c.

vezi raspunsul

Răspuns corect: c = -2.

obiectiv
determina c.

Rezoluţie

Rădăcinile sunt punctele în care curba taie axa x a abscisei. Deci rădăcinile sunt:

x cu 1 indice este egal cu minus 1 spațiu x cu 2 indice este egal cu 2

Parametrii sunt:

un spațiu este egal cu spațiu 1 b spațiu este egal cu spațiu minus 1

Formula lui Bhaskara este o egalitate care raportează toți acești parametri.

$x spațiu este egal cu spațiul numărătorului minus b spațiu plus sau minus spațiu rădăcină pătrată a b pătrat minus 4. The. c capătul rădăcinii peste numitorul 2. la sfârşitul fracţiei$

Pentru a determina valoarea lui c, trebuie doar să o izolăm în formulă și, pentru aceasta, vom arbitra una dintre rădăcini, folosind cea cu cea mai mare valoare, deci valoarea pozitivă a deltei.

$x cu 2 indice este egal cu numărătorul minus b plus rădăcina pătrată a lui b pătrat minus 4. The. c capătul rădăcinii peste numitorul 2. la sfârşitul fracţiei$

2. The. x cu 2 indice este egal cu minus b plus rădăcina pătrată a lui b pătrat minus 4. The. c capătul rădăcinii 2. The. x cu 2 spațiu indice plus spațiu b este egal cu rădăcina pătrată a lui b pătrat minus 4. The. c capătul rădăcinii

În acest moment, pătram ambele părți ale ecuației pentru a lua rădăcina deltei.

$paranteza stângă 2. The. x cu 2 indice plus b paranteza dreaptă pătrat este egală cu paranteza stângă rădăcina pătrată a lui b pătrat minus 4. The. c capătul rădăcinii paranteza dreaptă spațiu pătrat paranteza stângă 2. The. x cu 2 indice plus b paranteză dreaptă pătrat este egal cu spațiul b pătrat minus 4. The. c paranteza stângă 2. The. x cu 2 indice plus b paranteză din dreapta minus b pătrat este egal cu minus 4. The. c numerator paranteza stângă 2. The. x cu 2 indice plus b paranteză din dreapta minus b pătrat peste numitor minus 4. sfârșitul fracției egal cu c$

Înlocuirea valorilor numerice:

$paranteza din stânga numărătorului 2. The. x cu 2 indice plus b paranteză din dreapta minus b pătrat peste numitor minus 4. Sfârșitul fracției este egal cu c numărător paranteza stângă 2.1.2 minus 1 paranteza din dreapta la pătrat minus paranteza stânga minus 1 paranteza din dreapta la pătrat peste numitor minus 4.1 sfârşitul fracţiei este egal cu numeratorul c paranteza stângă 4 minus 1 paranteza dreaptă pătrat minus 1 peste numitor minus 4 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul c 3 pătrat minus 1 peste numitorul minus 4 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul c 9 minus 1 peste numitor minus 4 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul c 8 peste numitor minus 4 sfârşitul fracţiei este egal cu c minus 2 egal la c$

Astfel, parametrul c este -2.

Exercițiul 7

(Primăria São José dos Pinhais - PR 2021) Bifați alternativa care aduce o afirmație corectă a celei mai mari dintre soluțiile ecuației:

drept x spațiu pătrat plus spațiu 2 drept x spațiu minus spațiu 15 spațiu este egal cu spațiu 0 spațiu

a) Este unic.
b) Este negativ.
c) este multiplu de 4.
d) Este un pătrat perfect.
e) Este egal cu zero.

vezi raspunsul

Răspuns corect: a) Este ciudat.

Parametrii ecuației:

a = 1
b = 2
c = -15

increment egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu 2 pătrat minus 4,1. paranteza din stânga minus 15 paranteza din dreapta incrementul este egal cu 4 plus 60 incrementul este egal cu 64

$x cu 1 indice este egal cu numărătorul minus 2 spațiu plus spațiu rădăcină pătrată a lui 64 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 2 spațiu plus spațiu 8 peste numitorul 2 sfârşitul fracţiei este egal cu 6 peste 2 este egal cu 3 x cu 2 indice este egal cu numărătorul minus 2 spaţiu minus spaţiu rădăcina pătrată a lui 64 peste numitorul 2 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 2 spaţiu minus spaţiu 8 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 10 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal minus 5$

Deoarece cea mai mare soluție a ecuației, 3, este un număr impar.

Exercițiul 8

(PUC - 2016)
Imagine asociată cu rezolvarea problemei.

Să considerăm un triunghi dreptunghic de ipotenuză a și catetele b și c, cu b > c, ale cărui laturi respectă această regulă. Dacă a + b + c = 90, valoarea lui a. c, da

a) 327
b) 345
c) 369
d) 381

vezi raspunsul

Răspuns corect: c) 369.

Termenii din paranteze sunt echivalenti cu laturile a, b si c ale triunghiului dreptunghic.

Afirmația mai prevede că a + b + c = 90, înlocuind astfel termenii triadei pitagoreice. În cazul unei sume, ordinea nu contează.

$un spațiu plus spațiu b spațiu plus c spațiu este egal cu spațiu 90 numărător m pătrat minus 1 peste numitor 2 sfârșitul fracției plus m plus numărător m pătrat plus 1 peste numitor 2 sfârșitul fracției este egal cu 90 numărător m pătrat minus 1 peste numitor 2 sfârșitul fracției plus numărător 2 m peste numitorul 2 sfârșitul fracției plus numărătorul m pătrat plus 1 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu 180 peste 2 m pătrat minus 1 plus 2 m plus m pătrat plus 1 este egal cu 180 2 m pătrat plus 2 m este egal cu 180 2 m pătrat plus 2 m minus 180 este egal cu 0 m pătrat plus m minus 90 egal cu 0$

Rezolvarea ecuației pătratice pentru a găsi m:

Coeficienții sunt,
a = 1
b = 1
c = -90

increment egal cu b pătrat minus 4. The. incrementul c este egal cu 1 minus 4,1. paranteza din stânga minus 90 paranteza din dreapta incrementul este egal cu 1 plus 360 incrementul este egal cu 361

$m cu 1 indice este egal cu numărătorul minus 1 plus rădăcina pătrată a lui 361 peste numitorul 2.1 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul minus 1 plus 19 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu 18 peste 2 este egal cu 9 m cu 2 indice este egal cu numărătorul minus 1 minus rădăcina pătrată a lui 361 peste numitorul 2,1 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 1 minus 19 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul minus 20 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal minus 10$

Fiind o măsură, vom ignora m2, deoarece nu există măsură negativă.

Înlocuind valoarea 9 în termenii:

$numărător m pătrat minus 1 peste numitor 2 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul 9 pătrat minus 1 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul 81 minus 1 peste numitor 2 sfârșitul fracției este egal cu 80 peste 2 este egal la 40$

$numărător m pătrat plus 1 peste numitor 2 sfârşitul fracţiei este egal cu numărătorul 9 pătrat plus 1 peste numitorul 2 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul 81 plus 1 peste numitor 2 sfârșitul fracției este egal cu 82 peste 2 este egal la 41$

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este cea mai lungă latură, deci a = 41. Cea mai mică latură este c, conform afirmației, deci c = 9.

În acest fel, produsul este:

spre spatiu. spațiu c spațiu este egal cu spațiu 41 spațiu. spațiu 9 spațiu este egal cu spațiul 369

Exercițiul 9

Formula și foaia de calcul Bhaskara

(CRF-SP - 2018) Formula lui Bhaskara este o metodă de a găsi rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice folosind doar coeficienții acesteia. Merită să ne amintim că coeficientul este numărul care înmulțește o necunoscută într-o ecuație. În forma sa originală, formula lui Bhaskara este dată de următoarea expresie:

$Stil de început matematică dimensiune 18px x este egal cu numărătorul minus b plus sau minus rădăcina pătrată a lui b pătrat minus 4. The. c capătul rădăcinii peste numitorul 2. sfârşitul fracţiunii sfârşitul stilului$

Discriminant este expresia prezentă în rădăcina din formula lui Bhaskara. Este reprezentat în mod obișnuit de litera greacă Δ (Delta) și își are numele de la faptul că discriminează rezultatele unei ecuația după cum urmează: Marcați alternativa care transcrie corect formula Δ = b2 – 4.a.c în celulă E2.