Factorizarea lui polinomiale constă din metode dezvoltate pentru a rescrie un polinom ca produs între polinoame. Scrieți polinomul ca multiplicare între doi sau mai mulți factori ajută la simplificarea expresiilor algebrice și la înțelegerea unui polinom.
Există diferite cazuri de factoring, iar pentru fiecare dintre ele există tehnici specifice.. Cazurile existente sunt: factorizarea prin factor comun în evidență, factorizarea prin grupare, diferența dintre două pătrate, trinom pătrat perfect, suma a două cuburi și diferența a două cuburi.
Citeste mai mult:Ce este polinomul?
Rezumat despre factorizarea polinoamelor
Factorizarea polinoamelor sunt tehnici folosite pentru a reprezenta polinoamele ca un produs între polinoame.
Folosim această factorizare pentru a simplifica expresii algebrice.
-
Cazurile de factoring sunt:
Factorizarea prin factor comun în dovezi;
Factorizarea prin grupare;
trinom pătrat perfect;
diferența de două pătrate;
suma a doua cuburi;
Diferența de două cuburi.
Cazuri de factorizare polinomială
Pentru factorizarea unui polinom, este necesar să se analizeze în care dintre cazurile de factoring se încadrează situaţia, fiind: factorizarea prin factor comun în evidență, factorizarea prin grupare, diferența dintre două pătrate, trinom pătrat perfect, suma a două cuburi și diferența a două cuburi. Să vedem cum se efectuează factorizarea în fiecare dintre ele.
Nu te opri acum... Mai sunt dupa anunt ;)
Factorul comun în dovezi
Folosim această metodă de factorizare atunci când există un factor comun tuturor termenilor polinomului. Acest factor comun va fi evidențiat ca un factor, iar celălalt factor, rezultatul Divizia a termenilor prin acel factor comun, va fi plasat între paranteze.
Exemplul 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analizând fiecare termen al acestui polinom, se poate observa că x se repetă în toți termenii. De asemenea, toți coeficienții (20, 12 și 8) sunt multipli ai lui 4, deci factorul comun tuturor termenilor este 4x.
Împărțind fiecare termen la factorul comun, avem:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Acum, vom scrie factorizarea punând în evidență factorul comun și sumă dintre rezultatele găsite în paranteze:
4x (5y + 3x + 2y²)
Exemplul 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analizând partea literală a fiecărui termen, este posibil să vedem că a²b se repetă în toate. Rețineți că nu există niciun număr care să împartă 2, 3 și – 4 în același timp. Deci factorul comun va fi doar a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
al 4-lea5b³: a²b = 4a³
Astfel, factorizarea acestui polinom va fi:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Vezi si: Adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor — înțelegeți cum se fac
gruparea
Această metodă este folosit atunci când nu există un factor comun pentru toți termenii polinomului. În acest caz, identificăm termeni care pot fi grupați având un factor comun și îi evidențiem.
Exemplu:
Factorizați următorul polinom:
ax + 4b + bx + 4a
Vom grupa termenii care au ca factor comun a și b:
ax + 4a + bx + 4b
Punând în evidență a și b în termeni doi câte doi, avem:
a(x+4)+b(x+4)
Rețineți că în paranteze factorii sunt aceiași, așa că putem rescrie acest polinom ca:
(a + b) (x + 4)
trinom pătrat perfect
Trinoamele sunt polinoame cu 3 termeni. Un polinom este cunoscut ca trinom pătrat perfect atunci când este rezultatul sumei pătratului sau al pătratului diferență, acesta este:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Important: Nu de fiecare dată când există trei termeni, acest polinom va fi un trinom pătrat perfect. Prin urmare, înainte de a efectua factorizarea, trebuie verificat dacă trinomul se potrivește în acest caz.
Exemplu:
Factorizați, dacă este posibil, polinomul
x² + 10x + 25
După analizarea acestui trinom, vom extrage rădăcină pătrată primul și ultimul termen:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Este important să verificați dacă termenul central, adică 10x, este egal cu \(2\cdot\ x\cdot5\). Rețineți că într-adevăr este același. Deci acesta este un trinom pătrat perfect, care poate fi factorizat prin:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
diferența de două pătrate
Când avem o diferență de două pătrate, putem factoriza acest polinom rescriindu-l ca produs al sumei și diferenței.
Exemplu:
Factorizați polinomul:
4x² – 36y²
Mai întâi, vom calcula rădăcina pătrată a fiecăruia dintre termenii săi:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Acum, vom rescrie acest polinom ca produsul dintre suma și diferența rădăcinilor găsite:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Citeste si: Calcul algebric care implică monomii — aflați cum au loc cele patru operații
suma a doua cuburi
Suma a două cuburi, adică a³ + b³, poate fi factorizat ca:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Exemplu:
Factorizați polinomul:
x³ + 8
Știm că 8 = 2³, deci:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Diferența de două cuburi
Diferența a două cuburi, adică a³ – b³, nu spre deosebire de suma a două cuburi, poate fi factorizat ca:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Exemplu:
Factorizați polinomul
8x³ - 27
Noi stim aia:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Deci trebuie să:
\(8x^3-27=\stânga (2x-3\dreapta)\)
\(8x^3-27=\stânga (2x-3\dreapta)\stânga (4x^2+6x+9\dreapta)\)
Exerciții rezolvate de factorizare a polinoamelor
intrebarea 1
Utilizarea factorizării polinomiale pentru a simplifica expresia algebrică \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), vom găsi:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Rezoluţie:
Alternativa D
Privind la numărător, vedem că x² + 4x + 4 este un caz de trinom pătrat perfect și poate fi rescris astfel:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Numătorul x² – 4 este diferența a două pătrate și poate fi rescris astfel:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Prin urmare:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Rețineți că termenul x + 2 apare atât la numărător, cât și la numitor, deci simplificarea lui este dată de:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
intrebarea 2
(Institutul Unifil) Având în vedere că două numere, x și y, sunt astfel încât x + y = 9 și x² – y² = 27, valoarea lui x este egală cu:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Rezoluţie:
Alternativa C
Rețineți că x² – y² este diferența dintre două pătrate și poate fi factorizat ca produsul dintre sumă și diferență:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Știm că x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Apoi putem configura o sistem de ecuații:
Adăugarea celor două linii:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
