Raporturile trigonometrice: sinus, cosinus și tangentă sunt relații între laturile unui triunghi dreptunghic. Folosind aceste rapoarte, este posibil să se determine valori necunoscute ale unghiurilor și măsurătorilor laterale.
Exersați-vă cunoștințele cu problemele rezolvate.
întrebări despre sine
intrebarea 1
fiind unghiul egal cu 30° și ipotenuza 47 m, calculați măsurarea înălțimii The a triunghiului.
Raportul sinusului trigonometric este coeficientul dintre măsurile laturii opuse a unghiului și ipotenuză.
Izolare The pe de o parte a egalității, avem:
Dintr-un tabel trigonometric, avem că sinusul de 30° este egal cu , înlocuind în ecuație:
Prin urmare, înălțimea triunghiului este de 23,50 m.
intrebarea 2
Vederea de sus a unui parc arată două căi pentru a ajunge la punctul C din punctul A. Una dintre opțiuni este să mergi în B, unde există fântâni de băut și locuri de odihnă, și apoi în C. Dacă un vizitator al parcului dorește să meargă direct la C, câți metri va fi parcurs mai puțin decât prima variantă?
Luați în considerare aproximații:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
tan 58° = 1,60
Răspuns: plecând de la A și mergând direct spre C, mersul este cu 7,54 m mai scurt.
Pasul 1: calculați distanța.
Pasul 2: determinați distanța.
Pasul 3: determinați distanța .
Pasul 4: Determinați diferența dintre cele două căi.
intrebarea 3
A fost instalată o telecabină care leagă o bază de vârful unui munte. Pentru instalare s-au folosit 1358 m de cabluri dispuse la un unghi de 30° fata de pamant. Cât de înalt este muntele?
Răspuns corect: înălțimea muntelui este de 679 m.
Putem folosi raportul trigonometric sinus pentru a determina înălțimea muntelui.
Dintr-un tabel trigonometric, avem sin 30° = 0,5. Deoarece sinusul este raportul dintre latura opusă și ipotenuză, determinăm înălțimea.
intrebarea 4
(CBM-SC, soldat-2010) Pentru a ajuta o persoană dintr-un apartament în timpul unui incendiu, pompierii va folosi o scară de 30 m, care va fi amplasată așa cum se arată în figura de mai jos, formând un unghi cu solul din 60. Cât de departe este apartamentul de etaj? (Folosiți sen60º=0,87; cos60º=0,5 și tg60º= 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Răspuns corect: b) 26,1 m.
Pentru a determina înălțimea, vom folosi sinusul de 60°. Apelând înălțimea h și folosind 60° sinus egal cu 0,87.
Întrebări despre cosinus
intrebarea 5
Cosinusul este raportul dintre latura adiacentă unui unghi și măsurarea ipotenuzei. Fiind egal cu 45°, calculați măsura piciorului adiacent unghiului alfa, în triunghiul figurii.
considera
Aproximând valoarea rădăcinii pătrate a lui 2:
Măsura piciorului adiacent este de aproximativ 19,74 m.
intrebarea 6
În timpul unui meci de fotbal, jucătorul 1 aruncă către jucătorul 2 la un unghi de 48°. Cât de departe trebuie să parcurgă mingea pentru a ajunge la jucătorul 2?
Considera:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
tan 48° = 1,11
Răspuns corect: mingea trebuie să parcurgă o distanță de 54,54 m.
Măsurarea dintre jucătorul 1 și jucătorul 2 este ipotenuza triunghiului dreptunghic.
Cosinusul unghiului de 48° este raportul dintre latura sa adiacentă și ipotenuză, unde latura adiacentă este distanța dintre mijlocul terenului și zona mare.
52,5 - 16,5 = 36 m
Calcularea cosinusului, unde h este ipotenuza.
intrebarea 7
Un acoperiș este considerat a fi fronton atunci când există două pante. Într-o lucrare, se construiește un acoperiș unde întâlnirea celor două ape ale sale este exact în mijlocul plăcii. Unghiul de înclinare al fiecărei ape în raport cu placa este de 30°. Placa are 24 m lungime. Pentru a comanda țiglele chiar înainte de finalizarea structurii care va susține acoperișul, este necesar să se cunoască lungimea fiecărei ape, care va fi:
Deoarece placa are 24 m lungime, fiecare apă va avea 12 m.
Numind lungimea fiecărei ape de acoperiș L, avem:
Raționalizarea fracției pentru a obține numărul irațional a numitorului.
Făcând,
Prin urmare, lungimea apei fiecărui acoperiș va fi de aproximativ 13,6 m.
intrebarea 8
Tangenta este raportul dintre latura opusă unui unghi și latura adiacentă. fiind unghiul egal cu 60°, calculați înălțimea triunghiului.
Întrebări tangente
intrebarea 9
O persoană dorește să cunoască lățimea unui râu înainte de a-l traversa. Pentru aceasta, stabilește un punct de referință pe cealaltă margine, ca un copac de exemplu (punctul C). În poziția în care vă aflați (punctul B), mergeți 10 metri spre stânga, până când între punctul A și punctul C se formează un unghi de 30°. Calculați lățimea râului.
considera .
Pentru a calcula lățimea râului pe care îl vom numi L, vom folosi tangenta unghiului .
intrebarea 10
(Enem 2020) Pergolado este numele dat unui tip de acoperiș proiectat de arhitecți, de obicei în pătrate și
grădini, pentru a crea un mediu pentru oameni sau plante, în care există o scădere a cantității de lumină,
in functie de pozitia soarelui. Este realizat ca un palet de grinzi egale, asezate paralel si perfect
într-un rând, așa cum se arată în figură.
Un arhitect proiectează o pergolă cu deschideri de 30 cm între grinzi, astfel încât, în
solstițiul de vară, traiectoria soarelui în timpul zilei se realizează într-un plan perpendicular pe direcția
razele și că soarele de după-amiază, când razele sale fac 30° cu poziția pinului, generează jumătate
a luminii care trece în pergolă la amiază.
Pentru a satisface propunerea de proiect intocmita de arhitect, grinzile pergolei trebuie sa fie
construit astfel încât înălțimea, în centimetri, să fie cât mai apropiată de
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Răspuns corect: c) 26.
Pentru a înțelege situația, să facem o schiță.
Imaginea din stânga arată incidența razelor solare la prânz, cu 100%. Imaginea din stânga este cea care ne interesează. Lasa doar 50% din razele soarelui sa treaca prin pergola cu o panta de 30%.
Folosim raportul trigonometric tangent. Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Numind înălțimea piesei de pergolă h, avem:
Făcând o tangentă de 30° =
Să raționalizăm ultima fracție astfel încât să nu lăsăm rădăcina lui trei, un număr irațional, la numitor.
Făcând,
Dintre optiunile disponibile pentru intrebare, cea mai apropiata este litera c, inaltimea grinzilor trebuie sa fie de aproximativ 26cm.
intrebarea 11
(Enem 2010) Un balon atmosferic, lansat în Bauru (343 de kilometri nord-vest de São Paulo), noaptea duminica trecută, a căzut în această luni la Cuiabá Paulista, în regiunea Presidente Prudente, sperietoare
fermierii din regiune. Artefactul face parte din programul Proiect Hibiscus, dezvoltat de Brazilia, Franța,
Argentina, Anglia și Italia, pentru a măsura comportamentul stratului de ozon, și a avut loc coborârea acestuia
după respectarea timpului estimat de măsurare.
La data evenimentului, două persoane au văzut balonul. Unul era la 1,8 km de poziția verticală a balonului
și l-am văzut la un unghi de 60°; celălalt era la 5,5 km de poziția verticală a balonului, aliniat cu
mai întâi și în aceeași direcție, așa cum se vede în figură, și l-am văzut la un unghi de 30°.
Care este înălțimea aproximativă a balonului?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Răspuns corect: c) 3,1 km
Folosim tangenta de 60° care este egală . Tangenta este raportul trigonometric dintre latura opusă a unghiului și cea adiacentă.
Prin urmare, înălțimea balonului a fost de aproximativ 3,1 km.
