Vectorul este reprezentarea care determină mărimea, direcția și direcția unei mărimi vectoriale. Vectorii sunt segmente drepte orientate printr-o săgeată la un capăt.
Numim vectorii cu o literă și o săgeată mică.
Vectorii caracterizează mărimile vectoriale, care sunt mărimi care au nevoie de orientare, adică direcție și direcție. Câteva exemple sunt: forța, viteza, accelerația și deplasarea. Valoarea numerică nu este suficientă, este necesar să descriem unde acţionează aceste mărimi.
modulul unui vector
Modulul sau intensitatea vectorului este valoarea sa numerică, urmată de unitatea de măsură a mărimii pe care o reprezintă, de exemplu:
Indicăm modulul dintre bare ținând săgeata sau, doar litera, fără bare și fără săgeată.
Lungimea vectorului este proporțională cu modulul. Un vector mai mare reprezintă un modul mai mare.
modulul vectorial este de 4 unități, în timp ce vector
este de 2 unitati.
Direcția unui vector
Direcția vectorului este panta dreptei de sprijin pe care este determinat. Există o singură direcție pentru fiecare vector.
sensul unui vector
Direcția vectorului este indicată de săgeată. Aceeași direcție poate conține două direcții, cum ar fi sus sau jos și stânga sau dreapta.
Adoptând o direcție ca pozitivă, direcția opusă, negativă, este reprezentată cu semnul minus înaintea simbolului vectorial.
Vectorul rezultat
Vectorul rezultat este rezultatul operațiilor vectoriale și este echivalent cu un set de vectori. Este convenabil să se cunoască vectorul care reprezintă efectul produs de mai mult de un vector.
De exemplu, un corp poate fi supus unui set de forțe și vrem să știm rezultatul pe care îl vor produce, toate împreună, asupra acestui corp. Fiecare forță este reprezentată de un vector, dar rezultatul poate fi reprezentat de un singur vector: vectorul rezultantă.
Vectorul rezultat, , de direcție orizontală și direcție spre dreapta, este rezultatul adunărilor și scăderilor vectorilor.
,
,
și
. Vectorul rezultat arată o tendință a corpului de a se mișca în această orientare.
Vectorii cu direcție verticală au aceeași dimensiune, adică același modul. Deoarece au semnificații opuse, se anulează reciproc. Acest lucru arată că nu va exista nicio mișcare a lăzii în direcția verticală.
La analiza vectorilor și
, care au aceeași direcție și direcții opuse, ne dăm seama că o parte din forță „rămâne” la dreapta, ca vector
este mai mare decât
, adică modulul de
este mai mare.
Pentru a determina vectorul rezultat, efectuăm operații de adunare și scădere vectorială.
Adunarea și scăderea vectorilor cu aceeași direcție
Cu simțuri egale, adăugăm modulele și păstrăm direcția și direcția.
Exemplu:
Grafic plasăm vectorii în ordine, fără a le schimba modulele. Începutul unuia trebuie să coincidă cu sfârșitul celuilalt.
Proprietatea comutativă a adunării este valabilă, deoarece ordinea nu modifică rezultatul.
Cu simțuri opuse, scădem modulele și păstrăm direcția. Direcția vectorului rezultat este cea a vectorului cu cel mai mare modul.
Exemplu:
vectorul este partea rămasă a
, după retragere
.
Scăderea unui vector este echivalentă cu adunarea cu opusul celuilalt.
Adunarea și scăderea vectorilor perpendiculari
Pentru a adăuga doi vectori cu direcții perpendiculare, mutăm vectorii fără a le schimba modulul, astfel încât începutul unuia să coincidă cu sfârșitul celuilalt.
Vectorul rezultat leagă începutul primului de sfârșitul celui de-al doilea.
Pentru a determina mărimea vectorului rezultat între doi vectori perpendiculari, potrivim începutul celor doi vectori.
Modulul vectorului rezultat este determinat de teorema lui Pitagora.
Adunarea și scăderea vectorilor oblici
Doi vectori sunt oblici când formează un unghi între direcțiile lor altele decât 0°, 90° și 180°. Pentru a adăuga sau scădea vectori oblici, se folosesc metodele paralelogramului și liniilor poligonale.
metoda paralelogramului
Pentru a efectua metoda, sau regula, a paralelogramului dintre doi vectori și a desena vectorul rezultat, urmează acești pași:
Primul pas este să poziționați originile lor în același punct și să trasați linii paralele cu vectorii pentru a forma un paralelogram.
Al doilea este să desenezi un vector diagonal pe paralelogram, între unirea vectorilor și unirea dreptelor paralele.
Liniile punctate sunt paralele cu vectorii, iar figura geometrică formată este un paralelogram.
Vectorul rezultat este linia care leagă originea vectorilor de paralele.
O modulul vectorului rezultat se obţine prin Legea Cosinusului.
Unde:
R este mărimea vectorului rezultat;
a este modulul vectorial ;
b este modulul vectorului ;
este unghiul format între direcțiile vectorilor.
Metoda paralelogramului este folosită pentru a adăuga o pereche de vectori. Dacă doriți să adăugați mai mult de doi vectori, trebuie să îi adăugați doi câte doi. La vectorul rezultat din suma primelor două, îl adunăm pe al treilea și așa mai departe.
O altă modalitate de a adăuga mai mult de doi vectori este să utilizați metoda liniei poligonului.
metoda liniei poligonale
Metoda liniei poligonale este folosită pentru a găsi vectorul rezultat din adăugarea vectorilor. Această metodă este utilă în special atunci când se adaugă mai mult de doi vectori, cum ar fi următorii vectori ,
,
și
.
Pentru a folosi această metodă trebuie să ordonăm vectorii astfel încât sfârșitul unuia (săgeată) să coincidă cu începutul altuia. Este important să păstrați modulul, direcția și direcția.
După aranjarea tuturor vectorilor sub forma unei linii poligonale, trebuie să urmărim vectorul rezultat care merge de la începutul primului până la sfârșitul ultimului.
Este important ca vectorul rezultat să închidă poligonul, săgeata sa coincizând cu săgeata din ultimul vector.
Proprietatea comutativă este valabilă, deoarece ordinea în care plasăm vectorii grafici nu modifică vectorul rezultat.
descompunere vectorială
A descompune un vector înseamnă a scrie componentele care alcătuiesc acest vector. Aceste componente sunt alți vectori.
Fiecare vector poate fi scris ca o compoziție a altor vectori, printr-o sumă vectorială. Cu alte cuvinte, putem scrie un vector ca fiind suma a doi vectori, pe care îi numim componente.
Folosind un sistem de coordonate carteziene, cu axe x și y perpendiculare, determinăm componentele vectorului.
vectorul este rezultatul sumei vectoriale dintre vectorii componente.
și
.
vectorul înclinare
formează un triunghi dreptunghic cu axa x. Astfel, determinăm modulele vectorilor componente folosind trigonometrie.
Modul component ax.
Modulul component ay.
modulul vectorial se obţine din teorema lui Pitagora.
Exemplu
O forță este efectuată prin tragerea unui bloc de la sol. Forța de modul de 50 N este înclinată cu 30° față de orizontală. Determinați componentele orizontale și verticale ale acestei forțe.
Date:
Înmulțirea unui număr real cu un vector
Înmulțind un număr real cu un vector, rezultatul va fi un vector nou, care are următoarele caracteristici:
- Aceeași direcție dacă numărul real este diferit de zero;
- Aceeași direcție, dacă numărul real este pozitiv și în sens invers dacă este negativ;
- Modulul va fi produsul dintre modulul numărului real și modulul vectorului înmulțit.
Produsul dintre un număr real și un vector
Unde: este vectorul rezultat din înmulțire;
este numărul real;
este vectorul înmulțit.
Exemplu
Fie numărul real n = 3 și vectorul de modulo 2, produsul dintre ele este egal cu:
Calculul modulului
Direcția și direcția vor fi aceleași.
Exercitiul 1
(Enem 2011) Forța de frecare este o forță care depinde de contactul dintre corpuri. Poate fi definită ca o forță opusă tendinței de deplasare a corpurilor și este generată din cauza neregulilor dintre două suprafețe aflate în contact. În figură, săgețile reprezintă forțe care acționează asupra corpului, iar punctul mărit reprezintă neregularitățile care există între cele două suprafețe.
În figură, vectorii care reprezintă forțele care provoacă deplasarea și frecarea sunt, respectiv:
cel) 
B) 
ç) 
d) 
și) 
Raspuns corect: litera a) 
Săgețile reprezintă vectorii forțelor care acționează în mișcarea pe direcție orizontală, fiind o pereche acțiune-reacție, au direcții opuse.
Săgețile verticale reprezintă acțiunile forței Greutate și forței Normale și, fiind egale, se anulează reciproc, fără mișcare pe direcția verticală.
Exercițiul 2
(UEFS 2011) Diagrama vectorială din figură conturează forțele exercitate de două benzi de cauciuc asupra unui dinte al unei persoane care urmează un tratament ortodontic.
Presupunând F = 10,0N, sen45° = 0,7 și cos45° = 0,7, intensitatea forței aplicate de elastice asupra dintelui, în N, este egală cu
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Răspuns corect: c) 2√85
Intensitatea forței aplicate dintelui se obține prin Legea Cosinusului.
a și b sunt egale cu 10 N.
Factorizarea rădăcinii pătrate ne dă:
Prin urmare, intensitatea forței rezultante aplicate de benzile de cauciuc pe dinte este .
Exercițiul 3
(PUC RJ 2016) Forțele F1, F2, F3 și F4, în figură, formează unghiuri drepte între ele, iar modulele lor sunt, respectiv, 1 N, 2 N, 3 N și 4 N.
Calculați modulul forței nete, în N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Răspuns corect: d) 2√ 2
Folosim metoda liniei poligonale pentru a determina vectorul rezultat. Pentru a face acest lucru, rearanjam vectorii astfel încât sfârșitul unuia să coincidă cu începutul celuilalt, astfel:
Folosind un sistem de coordonate cu originea la începutul vectorului rezultat, putem determina modulele componentelor acestuia, după cum urmează:
Astfel, trebuie să:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Mărimea vectorului rezultat este determinată de teorema lui Pitagora.
Prin urmare, modulul forței nete este egal cu .
află mai multe despre
- Vectori: adunare, scădere și descompunere.
- Cantități vectoriale
✖
