setul de numere prime este obiectul de studiu în matematica din Grecia antică. Euclide, în marea sa lucrare „Elementele”, discuta deja subiectul, reușind să demonstreze că aceasta a stabilit este infinit. După cum știm, numerele prime sunt cele care au numărul 1 ca divizor și ele însele, astfel, găsirea numerelor prime foarte mari nu este o sarcină ușoară, iar sita lui Eratostene o face ușor. întâlnire.
Cum știi când un număr este prim?
Știm că un număr prim este aoricine are ca separator numărul 1 și el însuși, deci un număr care, în lista sa de divizori, are alte numere decât 1 și în sine nu va fi prim, vezi:
Prin enumerarea celor 11 și 30 de separatoare, avem:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Rețineți că numărul 11 are doar numărul 1 și el însuși ca divizori, deci numărul 11 este un număr prim. Acum, uită-te la divizorii numărului 30, acesta are, pe lângă numărul 1 și el însuși, numerele 2, 3, 5, 6 și 10 cu divizori. Prin urmare, numărul 30 nu este prim.
→ Exemplu: Enumerați numerele prime mai mici decât 15.
Pentru aceasta, vom enumera divizorii tuturor numerelor între 2 și 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Astfel, numerele prime mai mici de 15 sunt:
2, 3, 5, 7, 11 și 13
Să recunoaștem, această sarcină nu ar fi foarte plăcută, de exemplu, dacă ar fi să notăm toate numerele prime între 2 și 100. Pentru a o evita, vom învăța să folosim, în subiectul următor, sita lui Eratostene.
Sita lui Eratosthenes
Sita lui Eratostene este a instrument care urmărește să faciliteze determinarea numerelor prime. Sita este formată din patru trepte și este necesar, pentru a le înțelege, să ținem cont de criteriile de divizibilitate. Înainte de a începe pas cu pas, trebuie să creăm un tabel de la numărul 2 la numărul dorit, deoarece numărul 1 nu este prim. Atunci:
→ Pasul 1: Din criteriul de divizibilitate cu 2, avem că numerele pare sunt toate divizibile cu acesta, adică numărul 2 va apărea în lista divizorilor, deci aceste numere nu vor fi prime și trebuie să le excludem din masa. Sunt ei:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Pasul 2: Din criteriul divizibilității cu 3, știm că un număr este divizibil cu 3 dacă sumă de cifrele sale este, de asemenea. Astfel, trebuie să excludem aceste numere din tabel, deoarece nu sunt prime deoarece există un număr altul decât 1 și el însuși în lista divizorilor. Deci, trebuie să excludem numerele:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Pasul 3: Din criteriul divizibilității cu 5, știm că toate numerele care se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5, așa că trebuie să le excludem din tabel.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Pasul 4: În mod similar, trebuie să excludem numerele care sunt multipli de 7 din tabel.
14, 21, 28, …, 546, …
– Cunoscând sita lui Eratostene, să determinăm numerele prime între 2 și 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ nu sunt veri
→ numere prime
Deci numerele prime între 2 și 100 sunt:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Citeste si: Calcul MMC și MDC: cum se face?
Descompunerea factorului prim
THE descompunerea factorului prim este cunoscut oficial ca teorema fundamentală a aritmeticii. Această teoremă afirmă că orice întreg diferit de 0 și mai mare decât 1 poate fi reprezentat prin produsul numerelor prime. Pentru a determina forma factorizată a unui număr întreg, trebuie să facem împărțiri succesive până când ajungem la rezultatul egal cu 1. Vezi exemplul:
→ Determinați forma factorizată a numerelor 8, 20 și 350.
Pentru a factoriza numărul 8, trebuie să-l împărțim la primul număr prim posibil, în acest caz la 2. Apoi, facem o alta impartire tot dupa primul care este posibil, acest proces se repeta pana ajungem la numarul 1 ca raspuns la impartire. Uite:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Prin urmare, forma factorizată a numărului 8 este 2 · 2 · 2 = 23. Pentru a facilita acest proces, vom adopta următoarea metodă:
Prin urmare, numărul 8 poate fi scris astfel: 23.
→ Pentru factorizarea numărului 20 vom folosi aceeași metodă, adică: împărțiți-l la numere prime.
Deci numărul 20, în forma sa factorizată, este: 2 · 2 · 5 sau 22 · 5.
→ În mod similar, vom face cu numărul 350.
Prin urmare, numărul 350, în forma sa factorizată, este: 2 · 5 · 5 · 7 sau 2 · 52 · 7.
Vezi si: Notația științifică: pentru ce este?
exercitii rezolvate
intrebarea 1 – Simplificați expresia:
Soluţie
Mai întâi, să factorăm expresia pentru a o face mai ușoară.
Astfel, 1024 = 210, și prin urmare putem înlocui unul cu celălalt în expresia exercițiului. Prin urmare:
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm