Binomul lui Newton este orice binom crescut la un număr Nu pe ce Nu este un număr natural. Mulțumită studiilor fizicianului Isaac Newton despre puterile binomilor, era posibil verificați regularitățile care facilitează reprezentarea polinomului generat de puterea unui binom.
Observând aceste regularități, a devenit și posibil găsiți doar unul dintre termenii polinom, fără a fi nevoie să calculăm totul, folosind formula termenului general al unui binom. În plus, Newton a observat o relație între analiza combinatoriea și binomii lui Newton, ceea ce a făcut ca Triunghiul lui Pascal un instrument excelent pentru dezvoltarea mai practică a unui binom Newton.
Citește și: Dispozitiv Briot-Ruffini - metodă de divizare a polinoamelor
Definiția binomului lui Newton
Definim ca binomialpolinom care are doi termeni. În unele aplicații în matematică și fizică, este necesar să se calculeze puterile unui binom. Pentru a facilita procesul, Isaac Newton a observat regularități importante care ne permit să găsim polinomul care rezultă din puterea unui binom.
În unele cazuri, calculul este destul de simplu: pur și simplu efectuați multiplicarea binomului de la sine folosind proprietatea distributivă. Până la o potență de ordinul 3, ne dezvoltăm fără eforturi mari, deoarece acestea sunt binecunoscutele produse notabile, dar pentru puteri superioare, calculați din multiplicarea termenului de la sine Nu uneori este multă muncă.
Exemple
Amintiți-vă că fiecare număr ridicat la zero este egal cu 1 și că fiecare număr ridicat la 1 este el însuși, ceea ce este valabil și pentru binomii.
Newton a observat o relația dintre coeficienții fiecăruia dintre termeni și combinație, care a permis calcularea puterii unui binom mai direct din următoarea formulă:
Înțelegerea formulei:
Mai întâi să ne uităm la partea literală a fiecărui termen, care este litera cu exponentul său. Rețineți că, pentru fiecare termen, exponentul lui “a ”scădea, începând cu n, apoi mergând la n - 1, și așa mai departe, până când a fost 1 în penultimul termen și 0 în ultimul termen (ceea ce face ca litera„ a ”să nu apară nici măcar în ultimul termen).
identificarea și exponenții săi:
Acum să analizăm exponenții lui "b", care sunt mereu în creștere, începând cu 0 în primul termen ( ceea ce face ca litera b să nu apară în primul termen), 1 în al doilea termen și așa mai departe până când este egală Nuîn ultimul termen.
identificarea B și exponenții săi:
Înțelegând partea literală, haideți analizați coeficienții, care sunt toate combinații de Nu elemente luate de la 0 la 0, 1 la 1, 2 la 2 și așa mai departe până la ultimul termen, care este combinația dintre Nu elemente preluate din Nu în Nu.
Este de remarcat faptul că este important să stăpânești calculul combinații pentru a putea găsi coeficienții. Amintiți-vă, pentru a calcula combinații, trebuie să:
Răspunsul combinat este întotdeauna un numar natural.
Vezi și: Diviziunea polinomială: cum să o rezolvăm?
Exemplu: Calculați binomul lui Newton (a + b) la a patra putere.
Primul pas: scrie polinomul folosind formula.
Al doilea pas: calculați combinațiile.
Prin înlocuirea combinațiilor, polinomul găsit va fi:
Puteți vedea că rezolvarea unor astfel de cazuri este încă laborioasă, în funcție de exponent, dar chiar și așa este mai rapidă decât a calcula folosind proprietatea distributivă. Un instrument care poate ajuta la acest calcul este triunghiul lui Pascal.
Triunghiul lui Pascal
Triunghiul Pascal a fost dezvoltat de Blaise Pascal în timpul studiului combinațiilor. El este un mod care facilitează calcularea combinațiilor. Utilizarea triunghiului Pascal face mai rapidă și mai ușoară găsirea coeficienților părților literale ale unui binom Newton fără a fi nevoie să calculați toate combinațiile.
Pentru a construi direct triunghiul lui Pascal, să ne amintim două situații în care calculul combinației este egal cu 1.
Astfel, primul și ultimul termen al tuturor liniilor sunt întotdeauna egale cu 1. Termenii centrali sunt construiți din suma termenului de deasupra acestuia plus vecinul său din coloana anterioară, ca în reprezentarea de mai jos:
Pentru a construi următoarele rânduri, nu uitați că primul termen este 1 și ultimul. Atunci este suficient să faceți sumele pentru a descoperi termenii centrali.
De asemenea, accesați: Teorema descompunerii polinomiale
Exemplu: Calculați (a + b) la a șasea putere.
Primul pas: aplicați formula binomului.
Al doilea pas: construiește triunghiul lui Pascal până la a 6-a linie.
Pasul 3: înlocuiți combinațiile cu valorile din linia 6, care sunt coeficienții fiecăruia dintre termenii binomului.
Ceea ce determină numărul de linii pe care le vom construi din binom este valoarea lui n. Este important să ne amintim că prima linie este zero.
Termenul general binomial al lui Newton
Termenul general al lui Newton binom este o formulă care ne permite să calculăm un termen al binomului fără a fi nevoie să dezvoltăm întregul polinom, adică putem identificați oricare dintre termenii de la primul până la ultimul. Cu formula, calculăm direct termenul pe care îl căutăm.
The: primul termen
B: al doilea mandat
n: exponent
p + 1: termen de căutare
Exemplu: Găsiți al 11-lea termen al binomului (a + b)12.
Rezoluţie:
Vezi și: Demonstrații prin a calculului algebric
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (Cesgranrio) Coeficientul lui x4 în polinomul P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Rezoluţie
Vrem să găsim un termen specific în rezolvarea binomului; pentru asta, trebuie să găsim valoarea lui p.
Știm că primul termen în acest caz este egal cu x, deci n - p = 4, ca n = 6, avem:
Prin urmare, coeficientul este 60 (alternativa B).
Intrebarea 2 - (Unifor) Dacă termenul central al dezvoltării binomiale (4x + ky)10 pentru 8064x5y5, atunci alternativa care corespunde valorii lui k va fi:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Rezoluţie: Știm că termenul central are coeficienți egali (p = 5). Să găsim al 6-lea termen, deoarece p + 1 = 6. Mai mult, avem că a = 4x; b = ky și n = 10, deci:
Alternativa D.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
