Imaginați-vă că vă jucați cu bilele pentru a forma triunghiuri. Puteți considera mai întâi că o minge este ca un triunghi mic:
•
Apoi așezi două bile sub ele și formați cele trei vârfuri ale lui a triunghi:
•
• •
Dacă puneți alte trei bile sub acestea, se va forma un alt triunghi:
•
• •
• • •
La fiecare pas de adăugare de bile în raport cu cantitatea plasată anterior, se va produce întotdeauna formarea de triunghiuri. Vezi triunghiul format prin adăugarea a încă patru bile:
•
• •
• • •
• • • •
Numărul total de bile din fiecare pas caracterizează o clasă de numere numită numere triunghiulare. Matematicianul Karl Friedrich Gauss a descoperit o formulă pentru a indica cantitatea totală din fiecare triunghi, unde s1corespunde primului triunghi, s2, la al doilea triunghi și așa mai departe. Sumele descrise de Gauss au început cu A și, la fiecare etapă, a fost adăugat un număr care corespundea cu o unitate peste ultimul număr adăugat:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Rezultatele acestor sume au fost numerele triunghiulare: 1, 3, 6, 10, 15... Rețineți că există un model stabilit în fiecare dintre aceste sume. Privind cu atenție, putem observa că fiecare dintre ele este a progresie aritmetică din motivul 1. Deci aici este suma gauss, care stabilește că, într-o sumă cu raport constant, dacă adunăm primul element la ultimul, vom obține același rezultat ca și adăugarea celui de-al doilea element la penultimul. Să vedem cum are loc procesul de sumă Gauss pentru sume. s6 și s7:
Procesul sumei Gauss aplicat sumei numerelor triunghiulare
Nu te opri acum... Mai sunt dupa publicitate ;)
dacă opriți s6 și s7 avem sumele din imaginea de mai sus, hai sa reproducem aceasta suma pt s8, S9, S10 și s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Putem generaliza pentru a obține o sumă pentru sNu:
sNu = n. (n+1), dacă n este par
2
sNu = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, dacă n este impar
2 2
la fel ca în magia numerelor, putem arăta un alt fapt interesant despre numerele triunghiulare: suma numerelor triunghiulare ulterioare rezultă întotdeauna numere care pot fi clasificate ca pătrate perfecte, adică numere care au rădăcină pătrat. Să vedem:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Rezultatele obținute, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 și 121, sunt toate pătrate perfecte.
De Amanda Gonçalves
Licenţiat în Matematică
Doriți să faceți referire la acest text într-o lucrare școlară sau academică? Uite:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Numere triunghiulare”; Scoala din Brazilia. Disponibil in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Accesat pe 27 iulie 2021.