Știm că orbitele planetelor sunt eliptice, totuși, pentru deducerea celei de-a treia legi a lui Kepler, să luăm în considerare o orbită circulară. Deși următoarea demonstrație se bazează pe orbite circulare, rezultatele sunt valabile și pentru orbitele eliptice.
În figură avem o planetă care orbitează în jurul Soarelui. Forța centripetă (Fc) este o forță gravitațională de atracție exercitată de Soare. Forțele de atracție exercitate între planete și sateliți sunt neglijate, acest lucru se datorează faptului că masele lor sunt mult mai mici decât masa Soarelui.
Ca planeta de masă (m) orbitează în jurul Soarelui, într-o mișcare circulară și cu viteză unghiulară ( ), forța rezultată pe planetă, numită forță centripetă (Fc), este dată de:
Fç=mω2 r
Pe ce:
Fç:forta centripeta;
m: masa planetei;
ω: viteza unghiulară a planetei;
r: raza orbitei planetei.
Viteza unghiulara este data de:
Pe ce:
T: perioada de revoluție pe planetă.
Înlocuind ecuația 2 în ecuația 1, avem:
Rețineți că forța centripetă este forța gravitațională de atracție dintre Soare și planetă. Astfel, luând în considerare masa Soarelui ca (M) și raza orbitei planetei ca (r), care este distanța dintre Soare și Planetă, Legea gravitației universale poate fi scrisă după cum urmează:
Pe ce:
Echivalând ecuația 3 cu 4, vom avea:
Curând:
Priviți ecuația 5 și observați că termenul 
este constantă, deoarece necunoscutele se referă la constanta universală și la masa soarelui, astfel încât ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
T2=kr3
Pe ce:
k: constantă de proporționalitate.
Ecuația 6 ne spune că pătratul perioadei de revoluție a unei planete în jurul Soarelui este direct proporțional cu cubul distanței dintre ele.
Prin ecuația de mai sus putem trage concluzia că, cu cât planeta este mai departe de Soare, cu atât perioada sa de revoluție este mai lungă.
A treia lege a lui Kepler, pe care tocmai am dedus-o, este valabilă și în raport cu Pământul pentru mișcarea Lunii și a sateliților artificiali.
De Nathan Augusto
Licențiat în Fizică
Sursă: Brazilia școală - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm
