O funcție se numește funcție polinomială atunci când legea formării sale este a polinom. Funcțiile polinomiale sunt clasificate în funcție de gradul polinomului lor. De exemplu, dacă polinomul care descrie legea formării funcției are gradul doi, spunem că aceasta este o funcție polinomială de gradul al doilea.
Pentru a calcula valoarea numerică a unei funcții polinomiale, doar înlocuiți variabila cu valoarea dorită, transformând polinomul într-o expresie numerică. În studiul funcțiilor polinomiale, reprezentarea grafică este destul de recurentă. Funcția polinomială de gradul 1 are un grafic întotdeauna egal cu o linie dreaptă. Funcția de gradul 2 are un grafic egal cu o parabolă.
Citește și: Care sunt diferențele dintre o ecuație și o funcție?
Ce este o funcție polinomială?
O functie f: R → R este cunoscut ca o funcție polinomială atunci când legea formării sale este un polinom:
f (x) = aNuXNu +n-1Xn-1 +n-2Xn-2 +... +2X2 +1x + a0
Pe ce:
x → este variabila.
n → este a numar natural.
Nu, An-1, An-2,... The2, The1 si0 → sunt coeficienți.
Coeficienții sunt numere reale care însoțesc variabila polinomială.
Exemple:
f(x) = x5 + 3x4 - 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x³ + x - 7
f(x) = x9
Cum se determină tipul funcției polinomiale?
Există mai multe tipuri de funcții polinomiale. Ea este clasificate după gradul polinomului. Când gradul este 1, atunci funcția este cunoscută ca o funcție polinomială de gradul 1 sau funcție polinomială de gradul 1 sau, de asemenea, o funcție afină. Vezi mai jos exemple de funcții de la gradul 1 la gradul 6.
Vezi și: Ce este o funcție de injector?
gradul funcției polinomiale
Ceea ce definește gradul funcției polinomiale este gradul polinomului, deci putem avea o funcție polinomială de orice grad.
Funcția polinomială de gradul 1
Pentru ca o funcție polinomială să fie fie gradul 1, fie polinomul de gradul 1, legea formării funcției trebuie sa fie f(x) = ax + b, cu a și b fiind numere reale și a ≠ 0. THE funcția polinomială de gradul 1 este cunoscută și ca funcție afină.
Exemple:
f(x) = 2x - 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
Funcția polinomială de gradul 2
Pentru ca o funcție polinomială să fie polinom de gradul 2 sau polinom de gradul 2, legea formării funcției trebuie sa fief(x) = ax² + bx + c, cu a, b și c fiind numere reale și a ≠ 0. unu Funcția polinomială de gradul 2 poate fi cunoscută și ca funcție pătratică.
Exemple:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = - x² + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
Funcția polinomială de gradul 3
Pentru ca o funcție polinomială să fie un polinom de gradul 3 sau gradul 3, legea formării funcției trebuie sa fief(x) = ax³ + bx² + cx + d, cu a și b fiind numere reale și a ≠ 0. Funcția de gradul 3 poate fi numită și funcție cubică.
Exemple:
f(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
f(x) = -5x³ + 4x² + 2x
f(x) = 3x³ + 8x - 4
f(x) = -7x³
Funcția polinomială de gradul 4
Atât pentru funcția polinomială de gradul 4, cât și pentru celelalte, raționamentul este același.
Exemple:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
Funcția polinomială de gradul 5
Exemple:
f(x) = x5 - 2x4 + x3 - 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
Funcția polinomială de gradul 6
Exemple:
f(x) = 2x6 - 7x5 + x4 - 5x3 + x² + 2x - 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
Valoarea numerică a funcției
Cunoașterea legii formării rolului f(x), pentru a calcula valoarea numerică a ocupaţie pentru o valoare Nu, calculează doar valoarea lui f(Nu). Prin urmare, am înlocuit variabila în legea formării.
Exemplu:
dată fiind funcția f(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, găsim valoarea numerică a funcției pentru x = 2.
Pentru a găsi valoarea f(x) când x = 2, vom face f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
Putem spune că imaginea funcției sau valoarea numerică a funcției, când x = 2, este egală cu 14.
Vezi și: Funcția inversă - constă din inversul funcției f (x)
Grafice de funcții polinomiale
A reprezenta în Avion cartezian funcția, reprezentăm, pe axa x, valorile lui x și imaginea lui f(x), prin puncte în plan. Punctele de pe plan cartezian sunt de tipul (Nu, f(Nu)).
Exemplul 1:
f(x) = 2x - 1
Graficul unei funcții de gradul 1 este întotdeauna a Drept.
Exemplul 2:
f(x) = x² - 2x - 1
Graficul funcției de gradul 2 este întotdeauna a parabolă.
Exemplul 3:
f(x) = x³ - x
Graficul funcției de gradul 3 este cunoscut sub numele de cub.
Egalitatea polinoamelor
Pentru ca două polinoame să fie egale, este necesar ca, atunci când faceți Comparație intre tu ta termeni, coeficienții sunt aceiași.
Exemplu:
Având în vedere următoarele polinoame p (x) și g (x) și știind că p (x) = g (x), găsiți valoarea lui a, b, c și d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d
Deoarece polinoamele sunt aceleași, avem că:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4
Rețineți că avem deja valoarea d, deoarece d = -4. Acum, calculând fiecare dintre coeficienți, trebuie să:
ax³ = 2x³
a = 2
Cunoscând valoarea lui a, să găsim valoarea lui b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Găsirea valorii lui c:
(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Vezi și: Ecuația polinomială - Ecuația caracterizată prin faptul că are un polinom egal cu 0
Operații polinomiale
Având în vedere două polinoame, este posibil să se efectueze operațiile lui adunare, scădere și înmulțirea între acești termeni algebrici.
Plus
Adunarea a două polinoame se calculează prin suma de turmâini similare. Pentru ca doi termeni să fie similari, partea literală (litera cu exponent) trebuie să fie aceeași.
Exemplu:
Fie p (x) = 3x² + 4x + 5 și q (x) = 4x² - 3x + 2, calculați valoarea lui p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Evidențierea unor termeni similari:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Acum să adăugăm coeficienții unor termeni similari:
(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
Scădere polinomială
Scăderea este foarte asemănătoare cu adunarea, totuși, înainte de a efectua operația, scriem polinomul opus.
Exemplu:
Date: p (x) = 2x² + 4x + 3 și q (x) = 5x² - 2x + 1, calculați p (x) - q (x).
Polinomul opus al lui q (x) este -q (x), care nu este altceva decât polinomul q (x) cu opusul fiecăruia dintre termeni.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x - 1
Deci, vom calcula:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Simplificând termeni similari, avem:
(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Înmulțirea polinomială
Înmulțirea polinomului necesită aplicarea proprietății distributive, adică înmulțim fiecare termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea termen.
Exemplu:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
Aplicând proprietatea distributivă, trebuie să:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
X3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
diviziunea polinomială
Pentru a calcula împărțirea între două polinoame, folosim aceeași metodă pe care o folosim pentru a calcula împărțirea a două numere, metoda cheilor.
Exemplu:
Calculați p (x): q (x), știind că p (x) = 15x² + 11x + 2 și q (x) = 3x + 1.
Citește și: Dispozitiv Handy Briot-Ruffini - O altă metodă pentru calcularea diviziunii polinoamelor
Exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Costul zilnic al producției unei industrii de piese auto pentru a produce o anumită cantitate de piese este dat de legea formării f(x) = 25x + 100, unde x este numărul de piese produse în acea zi. Știind că, într-o zi dată, au fost produse 80 de piese, costul de producție al acestor piese a fost:
A) BRL 300
B) BRL 2100
C) BRL 2000
D) BRL 1800
E) BRL 1250
Rezoluţie
Alternativa B
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
Intrebarea 2 - Gradul funcției h (x) = f(X) · g(x), știind asta f (x) = 2x² + 5x și g(x) = 4x - 5, este:
Până la 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rezoluţie
Alternativa C
Mai întâi vom găsi polinomul care este rezultatul înmulțirii dintre f(X și g(X):
f(X) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
f(X) · g(x) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x
Rețineți că acesta este un polinom este de gradul 3, deci gradul funcției h (x) este 3.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm