Triunghiul lui Pascal: ce este, funcție, proprietăți

O triunghiul lui Pascal este un instrument de matematică destul de vechi. De-a lungul istoriei, a primit mai multe nume, dar cele mai adoptate astăzi sunt triunghi aritmetic și triunghiul lui Pascal. Al doilea nume este un omagiu adus matematicianului care a adus mai multe contribuții la studiul acestui triunghi. înseamnă că triunghiul a fost inventat de el, dar el a fost cel care a făcut un studiu mai profund asupra acestui lucru instrument.

Din proprietățile triunghiului Pascal, este posibil să-l construim logic. De asemenea, iese în evidență dvs relație cu combinatii studiate în analiza combinatorie. Termenii triunghiului Pascal corespund, de asemenea, coeficienților binomi și, prin urmare, este foarte util pentru calcularea oricărui binom Newton.

Citeste si: Dispozitiv Briot-Ruffini - metodă de împărțire a polinoamelor

Construcția triunghiului lui Pascal

triunghiul lui Pascal este produs din rezultatul combinaţiilor, cu toate acestea, există o metodă practică care facilitează modalitatea de a o construi. Primul rând și prima coloană sunt numărate drept rând zero și coloană zero.

instagram story viewer

Putem folosi câte linii este nevoie în această construcție, prin urmare triunghiul poate avea drepte infinite. Raționamentul pentru elaborarea liniilor este întotdeauna același. Uite:

Noi stim aia termenii triunghiulari sunt combinații, studiat în analiza combinatorie. Pentru a înlocui triunghiul lui Pascal cu valori numerice, știm că combinațiile unui număr cu zero și a unui număr cu el însuși sunt întotdeauna egale cu 1. Prin urmare, prima și ultima valoare sunt întotdeauna 1.

Pentru a găsi celelalte, începem cu linia 2, deoarece linia 0 și linia 1 sunt deja complete. În rândul 2, pentru a găsi combinația de la 2 la 1, în linia de mai sus, adică în linia 1, să adăugăm termenul de deasupra lui în aceeași coloană și termenul de deasupra lui în coloana anterioară, așa cum se arată în imagine :

După construirea liniei 2, este posibil să construiți linia 3 efectuând aceeași procedură.

Continuând această procedură, vom găsi toți termenii – în acest caz, până la linia 5 – dar este posibil să construim câte linii este necesar.

Proprietățile triunghiului lui Pascal

Sunt cateva proprietățile triunghiului lui Pascal, datorită regularității în construcția sa. Aceste proprietăți sunt utile pentru lucrul cu combinații, construcția de linii triunghiulare în sine și suma liniilor, coloanelor și diagonalelor.

Prima proprietate

Prima proprietate a fost cea pe care am folosit-o pentru a construi triunghiul. Deci să găsiți un termen în triunghiul lui Pascal, trebuie doar să adăugați termenul care se află în rândul de deasupra acestuia și aceeași coloană cu termenul care se află în coloana și rândul dinaintea acestuia. Această proprietate poate fi reprezentată după cum urmează:

Această proprietate este cunoscută ca Relația lui Stifel și este important să facilitați construcția triunghiului și să găsiți valorile fiecăreia dintre linii.

a 2-a proprietate

Suma tuturor termenilor dintr-un rând se calculează prin:

s_Nu=2^Nu, pe ce Nu este numărul liniei.

Exemple:

Cu această proprietate, este posibil să știți suma tuturor termenilor de pe o linie fără a fi neapărat să construiască triunghiul lui Pascal. Suma liniei 10, de exemplu, poate fi calculată cu 2¹⁰= 1024. Deși nu toți termenii sunt cunoscuți, este deja posibil să cunoașteți valoarea sumei întregii linii.

a 3-a proprietate

Suma termenilor pe care o secvență de la începutul unei coloane date pentru până la o anumită linie Nu este același cu termenul de pe linie n+1 spate și coloană p+1 mai târziu, după cum se arată mai jos:

a 4-a proprietate

Suma unei diagonale care începe în coloana 0 și merge la termenul din coloana p și rândul n este egală cu termenul din aceeași coloană (p), dar în rândul de mai jos (n+1), așa cum se arată în imagine :

a 5-a proprietate

Există simetrie în liniile triunghiului lui Pascal. Primul și al doilea termen sunt egali, al doilea și penultimul termen sunt egali și așa mai departe.

Exemplu:

Linia 6: 1615 20 156 1.

Rețineți că termenii sunt egali doi la doi, cu excepția termenului central.

Vezi si: Diviziunea polinomială: cum se rezolvă?

Binomul lui Newton

Definim binomul lui Newton a puterea unuia polinom care are doi termeni. Calculul unui binom este legat de triunghiul Pascal, care devine un mecanism de calcul a ceea ce numim coeficienți binomi. Pentru a calcula un binom, folosim următoarea formulă:

Rețineți că valoarea exponentului lui The scade până în ultimul termen este egal cu The⁰. Știm că fiecare număr ridicat la 0 este egal cu 1, de unde termenul The nu apare in ultimul termen. De asemenea, rețineți că exponentul lui B începe cu B⁰, curând B nu apare in primul termen si creste pana ajunge B^Nu, în ultimul mandat.

În plus, numărul care însoțește fiecare dintre termeni este ceea ce numim coeficient - în acest caz cunoscut sub numele de coeficient binomial. Pentru a înțelege mai bine cum să rezolvați acest tip de binom, accesați textul nostru: Binomul lui Newton.

coeficient binomial

Coeficientul binom nu este altceva decât o combinație, care poate fi calculată folosind formula:

Totuși, pentru a facilita calculul binomului lui Newton, este esențial să folosim triunghiul Pascal, deoarece ne oferă rezultatul combinației mai rapid.

Exemplu:

Pentru a găsi rezultatul coeficientului binom, să găsim valorile rândului 5 al triunghiului lui Pascal, care sunt {1,5,10,10,5,1}.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+1 an⁵

Pur și simplu pune:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+y⁵

Triunghiul lui Pascal este format din coeficienți binomi.

exercitii rezolvate

Intrebarea 1 - Valoarea expresiei de mai jos este?

A) 8

B) 16

C) 2

D) 32

E) 24

Rezoluţie

Alternativa A.

Regrupând valorile pozitive și negative, trebuie să:

Rețineți că de fapt calculăm scăderea dintre linia 4 și linia 3 a triunghiului lui Pascal. După proprietate, știm că:

s₄= 2⁴= 16

s₃= 2³= 8

16 – 8 = 8.

Intrebarea 2 - Care este valoarea expresiei de mai jos?

A) 32

B) 28

C) 256

D) 24

E) 54

Rezoluţie

Alternativa B.

Rețineți că adăugăm termenii din coloana 1 a triunghiului lui Pascal la rândul 7, apoi la al treilea proprietate, valoarea acestei sume este egală cu termenul care ocupă rândul 7+1 și coloana 1+1, adică rândul 8, coloana 2. Deoarece vrem o singură valoare, construirea întregului triunghi Pascal nu este convenabilă.