THE medie geometrică împreună cu media aritmetică și media armonică au fost dezvoltate de școala pitagorică. La statistic este destul de obișnuit să căutați reprezentarea unui set de date printr-o singură valoare pentru luarea deciziilor. Una dintre posibilitățile pentru valoarea centrală este media geometrică.
Este util pentru reprezentarea unui set care are date care se comportă aproape de a progresie geometrică, de asemenea, pentru a găsi partea de pătrat și cub, cunoscând aria și respectiv volumul. Media geometrică se aplică și în situații de acumulare de creștere sau scădere procentuală. Pentru a calcula media geometrică a unui set de n valori, calculăm a doua rădăcină a produsului elementelor, adică, dacă un set are trei termeni, de exemplu, înmulțim cei trei și calculăm rădăcina cubică a produsului.
Formula medie geometrică
Media geometrică este utilizată pentru a găsi un
valoarea medie între un set de date. Pentru a calcula media geometrică, este nevoie de un set cu două sau mai multe elemente. Fie A un set de date A = (x1, X2, X3,... XNu), un set cu n elemente, media geometrică a acestui set este calculată prin:
Citește și: Măsuri de dispersie: amplitudine și deviere
Calculul mediei geometrice
Fie A = {3,12,16,36}, care va fi media geometrică a acestui set?
Rezoluţie:
Pentru a calcula media geometrică, numărăm mai întâi numărul de termeni din set, în cazul n = 4. Deci trebuie să:
Metoda 1: Efectuarea multiplicărilor.
Deoarece nu avem întotdeauna un calculator disponibil pentru a efectua multiplicări, este posibil să se facă calculul pe baza factorizării unui numar natural.
Metoda 2: Factorizarea.
Folosind factorizările trebuie să:
Aplicații ale mediei geometrice
Media geometrică poate fi aplicată oricărui set de date statistice, dar de obicei este angajat în geometrie, pentru a compara laturile prismelor și cuburilor de același volum sau pătratele și dreptunghiurile aceleiași zone. Există și aplicații în probleme de matematică financiară care implică o rată procentuală acumulată, adică procent sub procent. Pe lângă faptul că este cel mai convenabil mijloc pentru date care se comportă ca o progresie geometrică.
Exemplul 1: Cerere în procente.
Un produs, timp de trei luni, a avut creșteri consecutive, primul a fost de 20%, al doilea 10% și al treilea 25%. Care a fost creșterea procentuală medie la sfârșitul acestei perioade?
Rezoluţie
Produsul a costat inițial 100%, în prima lună a început să coste 120%, care, în forma sa zecimală, este scris ca 1.2. Acest raționament va fi același pentru cele trei creșteri, așa că dorim media geometrică între: 1.2; 1,1; și 1,25.
Creșterea este în medie de 18,2% pe lună.
Vezi și: Calcul procentual cu regula a trei
Exemplul 2: Aplicație în geometrie.
Care ar trebui să fie valoarea lui x din imagine, știind că pătratul și dreptunghiul au atunci aceeași zonă?
Rezoluţie:
Pentru a găsi valoarea x a laturii pătratului, vom calcula media geometrică dintre laturile dreptunghiului.
Prin urmare, latura pătratului este de 12 cm.
Exemplul 3: Progresia geometrică.
Care sunt termenii P.G., știind că predecesorul valorii centrale este x, valoarea centrală este 10 și succesorul valorii centrale este 4x.
Rezoluţie:
Cunoaștem termenii P.G. (x, 10,4x) și știm că media geometrică dintre succesor și predecesor este egală cu termenul central al P.G., deci trebuie să:
Diferența dintre media geometrică și media aritmetică
În statistici, modul în care se comportă datele este foarte important pentru alegerea unei singure valori care să le reprezinte. De aceea există tipuri de măsuri centrale și există tipuri de media.
Alegerea mediei de utilizat trebuie făcută ținând cont de setul de date la care lucrăm. Așa cum se vede în exemplu, dacă sunt date care se comportă aproape de o progresie geometrică și are cea mai exponențială creștere, se recomandă media geometrică.
În alte situații, în cea mai mare parte folosim medie aritmetică, de exemplu, greutatea medie a unei persoane pe parcursul anului. Atunci când se compară calculul a două tipuri de medii pentru același set de date, geometria va fi întotdeauna mai mică decât aritmetica.
Când comparăm formula medie aritmetică cu formula medie geometrică, observăm diferența, deoarece prima este calculată de suma termenilor împărțiți prin cantitatea de termeni, în timp ce al doilea, așa cum am văzut, este calculat de a n-a rădăcină a produsului tuturor termenilor.
Exemplul 4: Având în vedere setul (3, 9, 27, 81, 243), realizați-vă că este un P.G. a raportului 3, deoarece de la primul la al doilea termen înmulțim cu trei, de la al doilea la al treilea și așa mai departe. Când căutați o valoare centrală care să reprezinte acest set, în mod ideal ar trebui să fie termenul central al progresiei, ceea ce se întâmplă dacă calculăm media geometrică. Cu toate acestea, atunci când se calculează media aritmetică, valorile mai mari fac ca valoarea acestei medii să fie prea mare în raport cu termenii mulțimii și cu cât este mai mare valoarea, cu atât mai departe de o reprezentare a termenului central va fi media aritmetică.
Rezoluţie:
Prima medie aritmetică
A doua medie geometrică
De asemenea, accesați: Moda, medie și medianăa - măsuri de centralitate
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Prețul benzinei în Brazilia a trecut prin creșteri mari în ultimele luni. Creșterile lunare din ultimele 4 luni au fost, respectiv, de 9%, 15%, 25% și 16%. Care a fost creșterea procentuală medie în această perioadă?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Rezoluţie
Alternativa A
Intrebarea 2 - O prismă cu bază dreptunghiulară are același volum ca un cub. Știind că dimensiunile prismei sunt de 6 cm lungime, 20 cm înălțime și 25 cm lățime, care este valoarea laturii cubului în centimetri?
Rezoluţie:
Alternativa D
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm
