Trigonometria este o temă importantă în matematică care face posibilă cunoașterea laturilor și a unghiurilor într-un triunghi dreptunghiular, prin sinus, cosinus și tangentă, pe lângă alte funcții trigonometrice.
Pentru a vă îmbunătăți studiile și a vă extinde cunoștințele, urmați lista a 8 exerciții, plus 4 întrebări la examenul de admitere, toate rezolvate pas cu pas.
Exercitiul 1
Observând dimineața umbra unei clădiri de la sol, o persoană a constatat că măsura 63 de metri când razele soarelui făceau un unghi de 30 ° cu suprafața. Pe baza acestor informații, calculați înălțimea clădirii.
Răspuns corect: Aproximativ 36,37 m.
Clădirea, umbra și raza soarelui determină un triunghi dreptunghiular. Folosind unghiul de 30 ° și tangenta, putem determina înălțimea clădirii.
Deoarece înălțimea clădirii este h, avem:
Exercițiul 2
Pe o circumferință cu diametrul de 3, un segment AC, numit coardă, formează un unghi de 90 ° cu un alt coardă CB de aceeași lungime. Care este măsura corzilor?
Răspuns corect: lungimea coardei este de 2,12 cm.
Deoarece segmentele AC și CB formează un unghi de 90 ° și sunt de aceeași lungime, triunghiul format este isoscel și unghiurile de bază sunt egale.
Deoarece suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 ° și avem deja un unghi de 90 °, mai sunt încă 90 ° pentru a fi împărțiți în mod egal între cele două unghiuri de bază. Astfel, valoarea acestora este egală cu 45º fiecare.
Deoarece diametrul este egal cu 3 cm, raza este de 1,5 cm și putem folosi cosinusul de 45 ° pentru a determina lungimea șirului.
Exercițiul 3
Un ciclist care participă la un campionat se apropie de linia de sosire în vârful unei pante. Lungimea totală a acestei ultime părți a testului este de 60 m, iar unghiul format între rampă și orizontală este de 30 °. Știind acest lucru, calculați înălțimea verticală pe care ciclistul trebuie să o urce.
Răspuns corect: înălțimea va fi de 30 m.
Apelând la înălțimea h, avem:
Exercițiul 4
Următoarea figură este formată din trei triunghiuri în care înălțimea h determină două unghiuri drepte. Valorile elementelor sunt:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Determinați valoarea lui a + b.
Raspuns corect:
Putem determina măsurătorile segmentelor a și b folosind tangențele unghiurilor date.
Calculul unui:
Calculul lui b:
Prin urmare,
Exercițiul 5
Un avion a decolat din orașul A și a zburat 50 km în linie dreaptă până a aterizat în orașul B. Ulterior, a zburat încă 40 km, de data aceasta îndreptându-se spre orașul D. Aceste două trasee sunt la un unghi de 90 ° unul față de celălalt. Cu toate acestea, din cauza condițiilor meteorologice nefavorabile, pilotul a primit o comunicare de la turnul de control în care îl informa că nu poate ateriza în orașul D și că ar trebui să se întoarcă în orașul A.
Pentru a face întoarcerea din punctul C, pilotul ar trebui să facă o întoarcere de câte grade spre dreapta?
Considera:
păcat 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
bronz 51 ° = 1,25
Răspuns corect: Pilotul trebuie să facă o întoarcere de 129 ° spre dreapta.
Analizând figura, vedem că calea formează un triunghi dreptunghiular.
Să numim unghiul pe care îl căutăm W. Unghiurile W și Z sunt suplimentare, adică formează un unghi superficial de 180 °.
Astfel, W + Z = 180 °.
L = 180 - Z (ecuația 1)
Sarcina noastră este acum de a determina unghiul Z și, pentru asta, vom folosi tangenta acestuia.
Trebuie să ne întrebăm: Care este unghiul a cărui tangentă este 1,25?
Problema ne oferă aceste date, bronz 51 ° = 1,25.
Această valoare poate fi găsită și într-un tabel trigonometric sau cu un calculator științific, utilizând funcția:
Înlocuind valoarea lui Z în ecuația 1, avem:
L = 180 ° - 51 ° = 129 °
Exercițiul 6
O rază de lumină monocromatică când trece de la un mediu la altul, suferă o abatere față de aceasta. Această modificare a propagării sale este legată de indicii de refracție ai mass-media, așa cum se arată în următoarea relație:
Legea lui Snell - Descartes
Unde i și r sunt unghiurile de incidență și refracție și, n1 și n2, indicii de refracție ai mijloacelor 1 și 2.
La lovirea suprafeței de separare între aer și sticlă, o rază de lumină își schimbă direcția, așa cum se arată în figură. Care este indicele de refracție al sticlei?
Date: indicele de refracție a aerului egal cu 1.
Răspuns corect: Indicele de refracție al sticlei este egal cu .
Înlocuind valorile pe care le avem:
Exercițiul 7
Pentru a trage un buștean de lemn în atelierul său, un lăcătuș a legat o frânghie de bușten și a tras-o de zece picioare pe o suprafață orizontală. O forță de 40 N prin șir a făcut un unghi de 45 ° cu direcția de deplasare. Calculați munca forței aplicate.
Răspuns corect: Lucrarea efectuată este de aproximativ 84,85 J.
Munca este o cantitate scalară obținută prin produsul forței și al deplasării. Dacă forța nu are aceeași direcție ca deplasarea, trebuie să descompunem această forță și să luăm în considerare doar componenta din această direcție.
În acest caz, trebuie să înmulțim magnitudinea forței cu cosinusul unghiului.
Deci avem:
Exercițiul 8
Între doi munți, locuitorii a două sate au fost nevoiți să călătorească cu greu în sus și în jos. Pentru a rezolva situația, s-a decis ca un sat cu cablu să fie construit între satele A și B.
Ar fi necesar să se calculeze distanța dintre cele două sate după linia dreaptă pe care ar fi întins podul. Întrucât locuitorii știau deja înălțimea orașelor și unghiurile de urcare, această distanță ar putea fi calculată.
Pe baza diagramei de mai jos și știind că înălțimea orașelor era de 100 m, calculați lungimea podului.
Răspuns corect: Podul ar trebui să aibă o lungime de aproximativ 157,73 m.
Lungimea podului este suma laturilor adiacente unghiurilor date. Apelând la înălțimea h, avem:
Calcul cu unghiul de 45 °
Calcul cu unghiul de 60 °
Pentru a determina lungimea podului, sumăm valorile obținute.
intrebarea 1
Cefet - SP
În triunghiul ABC de mai jos, CF = 20 cm și BC = 60 cm. Marcați măsurătorile segmentelor AF și respectiv BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Răspuns: b) 10, 20
Pentru a determina AF
Observăm că AC = AF + CF, deci trebuie să:
AF = AC - CF (ecuația 1)
CF este dat de problemă, fiind egal cu 20 cm.
AC poate fi determinat folosind sinusul de 30 °.
BC este asigurată de problemă, fiind egală cu 60 cm.
Înlocuind în ecuația 1, avem:
Pentru a determina BE
Prima observație:
Verificăm dacă figura din interiorul triunghiului este un dreptunghi, datorită unghiurilor drepte determinate în figură.
Prin urmare, laturile lor sunt paralele.
A doua observație:
Segmentul BE formează un triunghi unghiular cu un unghi de 30 ° unde: înălțimea este egală cu AF, pe care tocmai am stabilit-o, iar BE este hipotenuza.
Efectuarea calculului:
Folosim sinusul de 30 ° pentru a determina BE
intrebarea 2
EPCAR-MG
Un avion decolează din punctul B sub o înclinație constantă de 15 ° spre orizontală. La 2 km de B este proiecția verticală C a celui mai înalt punct D al unui lanț montan înalt de 600 m, așa cum se arată în figură.
Date: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Este corect să spunem că:
a) Avionul nu se va ciocni cu ferăstrăul înainte de a atinge 540 m înălțime.
b) Va exista o coliziune între avion și ferăstrău la o înălțime de 540 m.
c) Avionul se va ciocni cu ferăstrăul la D.
d) Dacă avionul decolează cu 220 m înainte de B, menținând aceeași înclinație, nu va exista o coliziune a avionului cu ferăstrăul.
Răspuns: b) Va exista o coliziune între avion și ferăstrău la o înălțime de 540 m.
În primul rând, este necesar să se utilizeze același multiplu al unității de măsurare a lungimii. Prin urmare, vom merge de la 2 km la 2000 m.
Urmând aceleași condiții inițiale de zbor, putem prezice înălțimea la care va fi planul în proiecția verticală a punctului C.
Folosind tangenta de 15 ° și definind înălțimea ca h, avem:
întrebarea 3
ENEM 2018
Pentru a decora un cilindru circular drept, va fi utilizată o bandă dreptunghiulară de hârtie transparentă, pe care se desenează cu caractere aldine o diagonală care formează 30 ° cu marginea inferioară. Raza bazei cilindrului măsoară 6 / π cm, iar la înfășurarea benzii se obține o linie în formă de helix, așa cum se arată în figură.
Valoarea măsurării înălțimii cilindrului, în centimetri, este:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Răspuns: b) 24√3
Observând figura observăm că s-au făcut 6 ture în jurul cilindrului. Deoarece este un cilindru drept, oriunde în înălțimea sa vom avea un cerc ca bază.
Pentru a calcula măsura bazei triunghiului.
Lungimea unui cerc poate fi obținută din formula:
Unde r este raza e, egală cu ,avem:
Cum sunt 6 ture:
Putem folosi bronzul de 30 ° pentru a calcula înălțimea.
întrebarea 4
ENEM 2017
Razele de soare ajung la suprafața unui lac cu un unghi X cu suprafața acestuia, așa cum se arată în figură.
În anumite condiții, se poate presupune că intensitatea luminoasă a acestor raze, pe suprafața lacului, este dată aproximativ de I (x) = k. sin (x), k fiind o constantă și presupunând că X este între 0 ° și 90 °.
Când x = 30º, intensitatea luminoasă este redusă la ce procent din valoarea sa maximă?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Răspuns: B) 50%
Înlocuind valoarea sinusoidală de 30 ° în funcție, obținem:
După ce a redus valoarea lui k la jumătate, intensitatea este de 50%.
Practicați mai multe exerciții în:
Exerciții de trigonometrie
Extindeți-vă cunoștințele cu:
Trigonometrie în triunghiul dreptunghiular
Relațiile metrice în triunghiul dreptunghiului
Trigonometrie
