THE regula celor trei este o procedură utilizată pentru rezolvarea problemelor care implică mărimi proporționale.
Deoarece are o aplicabilitate imensă, este foarte important să știți cum să rezolvați problemele folosind acest instrument.
Așadar, profitați de exercițiile adnotate și rezolvați întrebările concursului pentru a vă verifica cunoștințele despre acest subiect.
Exerciții comentate
Exercitiul 1
Pentru a vă hrăni câinele, o persoană cheltuie 10 kg de hrană la fiecare 15 zile. Care este cantitatea totală de furaje consumate pe săptămână, având în vedere că se adaugă întotdeauna aceeași cantitate de furaje pe zi?
Soluţie
Trebuie să începem întotdeauna prin identificarea mărimilor și a relațiilor lor. Este foarte important să identificați corect dacă cantitățile sunt direct sau invers proporționale.
În acest exercițiu, cantitatea totală de furaje consumate și numărul de zile sunt direct proporționale, cu cât mai multe zile, cu atât este mai mare suma totală cheltuită.
Pentru a vizualiza mai bine relația dintre cantități, putem folosi săgeți. Direcția săgeții indică cea mai mare valoare a fiecărei mărimi.
Cantitățile ale căror perechi de săgeți indică în aceeași direcție sunt direct proporționale și cele care indică în direcții opuse sunt invers proporționale.
Să rezolvăm apoi exercițiul propus, așa cum se arată în diagrama de mai jos:
Rezolvând ecuația, avem:
Astfel, cantitatea de hrană consumată pe săptămână este de aproximativ 4,7 kg.
Vezi și tu: Raport și proporție
Exercițiul 2
Un robinet umple un rezervor în 6 ore. Cât va dura același rezervor să se umple dacă sunt utilizate 4 robinete cu același debit ca robinetul anterior?
Soluţie
În această problemă, cantitățile implicate vor fi numărul de robinete și timpul. Cu toate acestea, este important să rețineți că cu cât numărul de robinete este mai mare, cu atât este mai puțin timp să umpleți rezervorul.
Prin urmare, cantitățile sunt invers proporționale. În acest caz, atunci când scriem proporția, trebuie să inversăm unul dintre rapoarte, așa cum se arată în diagrama de mai jos:
Rezolvarea ecuației:
Astfel, rezervorul va fi complet plin 1,5 ore.
Vezi și tu: Regula simplă și compusă din trei
Exercițiul 3
Într-o singură companie, 50 de angajați produc 200 de bucăți, lucrând 5 ore pe zi. Dacă numărul de angajați scade la jumătate și numărul de ore de lucru pe zi este redus la 8 ore, câte piese vor fi produse?
Soluţie
Cantitățile indicate în problemă sunt: numărul de angajați, numărul de piese și ore lucrate pe zi. Deci avem o regulă compusă de trei (mai mult de două cantități).
În acest tip de calcul, este important să analizăm separat ce se întâmplă cu necunoscutul (x), atunci când schimbăm valoarea celorlalte două mărimi.
Făcând acest lucru, ne-am dat seama că numărul de piese va fi mai mic dacă reducem numărul de angajați, prin urmare, aceste cantități sunt direct proporționale.
Numărul de piese crește dacă creștem numărul de ore de lucru pe zi. Prin urmare, ele sunt, de asemenea, direct proporționale.
În diagrama de mai jos, indicăm acest fapt prin săgeți, care indică direcția crescândă a valorilor.
Rezolvând regula celor trei, avem:
Astfel, va fi produs 160 bucăți.
Vezi și tu: Trei reguli compuse
Problemele concursului au fost rezolvate
1) Epcar - 2016
Două mașini A și B de modele diferite, fiecare menținându-și viteza constantă de producție, produc n părți egale împreună, durând simultan 2 ore și 40 de minute. Mașina A funcționând singură, menținându-și viteza constantă, ar produce, în 2 ore de funcționare, n / 2 din aceste piese.
Este corect să se afirme că mașina B, păstrându-și viteza de producție constantă, ar produce și n / 2 din aceste piese în
a) 40 de minute.
b) 120 de minute.
c) 160 de minute.
d) 240 de minute.
Deoarece timpul total de producție este de 2 ore și 40 de minute și știm deja că mașina A se produce în 2 ore n / 2 bucăți, așa că hai să aflăm cât produce singură în restul de 40 de minute. Pentru asta, să folosim regula celor trei.
Rezolvarea regulii celor trei:
Aceasta este cantitatea de piese produse în 40 de minute de mașina A, deci în 2 ore și 40 de minute singur produce:
Putem calcula apoi cantitatea produsă de mașina B în 2 ore și 40 de minute, scăzând cantitatea produsă de cele două mașini (n) din cantitatea produsă de mașina A:
Acum este posibil să se calculeze cât ar dura mașina B pentru a produce n / 2 bucăți. Pentru aceasta, să facem din nou o regulă de trei:
Rezolvând regula celor trei, avem:
Astfel, mașina B va produce n / 2 bucăți în 240 de minute.
Alternativă d: 240 min
Vezi și tu: Mărimi direct și invers proporționale
2) Cefet - MG - 2015
Într-o singură companie, 10 angajați produc 150 de bucăți în 30 de zile lucrătoare. Numărul de angajați de care compania va avea nevoie pentru a produce 200 de bucăți, în 20 de zile lucrătoare, este egal cu
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
Această problemă implică o regulă compusă de trei, deoarece avem trei cantități: numărul de angajați, numărul de piese și numărul de zile.
Observând săgețile, identificăm că numărul de piese și numărul de angajați sunt magnitudini
direct proportional. Zilele și numărul angajaților sunt invers proporționale.
Deci, pentru a rezolva regula celor trei, trebuie să inversăm numărul de zile.
În curând, vor fi necesari 20 de angajați.
Alternativa b: 20
Vezi și tu: Trei exerciții de regulă compusă
3) Enem - 2013
O industrie are un rezervor de apă cu o capacitate de 900 m3. Când este nevoie să curățați rezervorul, toată apa trebuie drenată. Drenajul apei se face prin șase drenuri și durează 6 ore când rezervorul este plin. Această industrie va construi un nou rezervor, cu o capacitate de 500 m3, a cărui evacuare a apei trebuie efectuată în 4 ore, când rezervorul este plin. Canalele de scurgere utilizate în noul rezervor trebuie să fie identice cu cele existente.
Cantitatea de scurgeri din noul rezervor ar trebui să fie egală cu
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
Această întrebare este o regulă de trei compuși, fiind cantitățile implicate capacitatea rezervorului, numărul de drenuri și numărul de zile.
Din poziția săgeților, observăm că capacitatea și numărul de drenuri sunt direct proporționale. Numărul de zile și numărul de scurgeri sunt invers proporționale, deci să inversăm numărul de zile:
Astfel, vor fi necesare 5 scurgeri.
Alternativa c: 5
4) UERJ - 2014
Notați în grafic numărul medicilor activi înregistrați la Consiliul Federal de Medicină (CFM) și numărul numărul de medici care lucrează în Sistemul de Sănătate Unificat (SUS), pentru fiecare mie de locuitori, în cele cinci regiuni ale Braziliei.
SUS oferă 1,0 medic pentru fiecare grup de x locuitori.
În regiunea de nord, valoarea lui x este aproximativ egală cu:
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
Pentru a rezolva problema, vom lua în considerare magnitudinea numărului de medici SUS și numărul de locuitori din regiunea de nord. Prin urmare, trebuie să eliminăm aceste informații din graficul prezentat.
Făcând regula celor trei cu valorile indicate, avem:
Rezolvând regula celor trei, avem:
Prin urmare, SUS oferă aproximativ 1 medic pentru fiecare 1515 de locuitori din regiunea de nord.
Alternativa d: 1515
Vezi și tu: Exerciții simple cu trei reguli
5) Enem - 2017
La ora 17:15 începe o ploaie puternică, care cade cu intensitate constantă. O piscină sub forma unui paralelipiped dreptunghiular, care inițial era gol, începe să acumuleze apă de ploaie și, la ora 18, nivelul apei în interiorul acesteia atinge 20 cm înălțime. În acel moment, se deschide supapa care eliberează fluxul de apă printr-un canal de scurgere situat în partea de jos a acestui bazin, al cărui debit este constant. La 18:40, ploaia se oprește și, în acel moment exact, nivelul apei din piscină a scăzut la 15 cm.
Momentul în care apa din această piscină se termină de scurgere complet este între
a) 19 h 30 min și 20 h 10 min
b) 19 h 20 min și 19 h 30 min
c) 19 h 10 min și 19 h 20 min
d) 19:00 și 19:00 10 min
e) 18 h 40 min și 19 h
Informațiile ne spun că în 45 de minute de ploaie, înălțimea apei din piscină a crescut la 20 cm. După acest timp, supapa de scurgere a fost deschisă, totuși a continuat să plouă timp de 40 de minute.
Să calculăm apoi înălțimea apei care a fost adăugată la piscină în acest interval de timp, folosind următoarea regulă de trei:
Calculând această regulă de trei, avem:
Acum, să calculăm cantitatea de apă care s-a scurs de la deschiderea scurgerii. Această cantitate va fi egală cu suma de apă adăugată, minus cantitatea care mai există în piscină, adică:
Prin urmare, 205/9 cm de apă au zburat de la deschiderea scurgerii (40 min). Acum, să calculăm cât va dura să se scurgă cantitatea rămasă în piscină după ce a încetat să plouă.
Pentru aceasta, să folosim încă o regulă de trei:
Calculând, avem:
Astfel, piscina va fi goală în aproximativ 26 de minute. Adăugând această valoare în momentul în care se termină ploaia, aceasta se va goli la aproximativ 19: 6 min.
Alternativă d: 19:00 și 19:00 10 min
Pentru a afla mai multe, citiți și:
- Procent
- Exerciții procentuale
- Matematica în Enem
- Exerciții privind raportul și proporția