Calculul matricei inverse: proprietăți și exemple

Matricea inversă sau matricea inversabilă este un tip de matrice pătrată, adică are același număr de rânduri (m) și coloane (n).

Apare atunci când produsul a două matrice are ca rezultat a matrice identitară de același ordin (același număr de rânduri și coloane).

Astfel, pentru a găsi inversul unei matrice, se folosește multiplicarea.

THE. B = B. A = eu_Nu (când matricea B este inversă a matricei A)

Dar ce este Matricea identității?

THE Matrice de identitate este definit atunci când elementele diagonalei principale sunt toate egale cu 1 și celelalte elemente sunt egale cu 0 (zero). Este indicat de I_Nu:

Proprietăți ale matricei inverse

• Există un singur invers pentru fiecare matrice.
• Nu toate matricile au o matrice inversă. Este inversabilă numai atunci când produsele matricilor pătrate duc la o matrice identitară (I_Nu)
• Matricea inversă a unui invers corespunde matricei în sine: A = (A^-1)^-1
• Matricea transpusă a unei matrice inverse este, de asemenea, inversă: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
• Matricea inversă a unei matrici transpuse corespunde transpunerii inversului: (A^-1 THE^{t) -1}
• Matricea inversă a unei matrice de identitate este egală cu matricea de identitate: I^-1 = Eu

Vezi și tu: Matrici

Exemple de matrice inversă

Matricea inversă 2x2

Matricea inversă 3x3

Pas cu pas: Cum se calculează matricea inversă?

Știm că, dacă produsul a două matrice este egal cu matricea identității, această matrice are un invers.

Rețineți că dacă matricea A este inversa matricei B, se folosește notația: A^-1.

Exemplu: Găsiți inversul matricei sub ordinea 3x3.

În primul rând, trebuie să ne amintim că A. THE^-1 = I (Matricea înmulțită cu inversul său va avea ca rezultat matricea de identitate I_Nu).

Fiecare element din primul rând al primei matrice este înmulțit cu fiecare coloană din a doua matrice.

Prin urmare, elementele celui de-al doilea rând al primei matrice sunt multiplicate cu coloanele celui de-al doilea.

Și, în sfârșit, al treilea rând al primului cu coloanele celui de-al doilea:

Prin potrivirea elementelor cu matricea identității, putem descoperi valorile:

a = 1
b = 0
c = 0

Cunoscând aceste valori, putem calcula celelalte necunoscute din matrice. În al treilea rând și prima coloană a primei matrice avem un + 2d = 0. Deci, să începem prin a găsi valoarea lui d, prin înlocuirea valorilor găsite:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

La fel, în al treilea rând și în a doua coloană putem găsi valoarea lui și:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Continuând, avem în a treia linie a celei de-a treia coloane: c + 2f. Rețineți că a doua matrice de identitate a acestei ecuații nu este egală cu zero, ci egală cu 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Trecând la al doilea rând și la prima coloană vom găsi valoarea lui g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

În al doilea rând și a doua coloană, putem găsi valoarea lui H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

În cele din urmă, să găsim valoarea lui eu prin ecuația celui de-al doilea rând și a celei de-a treia coloane:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

După descoperirea tuturor valorilor necunoscute, putem găsi toate elementele care alcătuiesc matricea inversă a lui A:

Exerciții de examen de admitere cu feedback

1. (Cefet-MG) Matricea este inversă a
Se poate spune, corect, că diferența (x-y) este egală cu:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

Vezi Răspuns

Alternativa e: 8

2. (UF Viçosa-MG) Fie matricile:

Unde x și y sunt numere reale și M este matricea inversă a lui A. Deci, produsul xy este:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

Vezi Răspuns

Alternativă la: 3/2

3. (PUC-MG) Matricea inversă a matricei este la fel ca:

)
B)
ç)
d)
și)

Vezi Răspuns

Alternativa b:

Citește și tu:

• Matrici - Exerciții
• Matrici și determinanți
• Tipuri de matrice
• Matricea transpusă
• Multiplicarea matricei