THE teoria probabilității este ramura Matematicii care studiază experimente sau fenomene aleatorii și prin aceasta este posibil să se analizeze șansele ca un anumit eveniment să se producă.
Când calculăm probabilitatea, asociem un grad de încredere că vor avea loc rezultatele posibile ale experimentelor, ale căror rezultate nu pot fi determinate în prealabil.
În acest fel, calculul probabilității asociază apariția unui rezultat la o valoare care variază de la 0 la 1 și, cu cât rezultatul este mai aproape de 1, cu atât este mai mare certitudinea apariției acestuia.
De exemplu, putem calcula probabilitatea ca o persoană să cumpere un bilet de loterie câștigător sau să știm șansele ca un cuplu să aibă 5 copii, toți băieți.
experiment aleatoriu
Un experiment aleatoriu este unul care nu poate prezice ce rezultat va fi găsit înainte de realizarea acestuia.
Evenimentele de acest tip, atunci când sunt repetate în aceleași condiții, pot da rezultate diferite și această inconstanță este atribuită întâmplării.
Un exemplu de experiment aleatoriu este de a arunca o matriță imparțială (matriță care are o distribuție omogenă a masei) în sus. La cădere, nu este posibil să se prevadă cu certitudine care dintre cele 6 fețe va fi orientată în sus.
Formula probabilității
Într-un fenomen aleatoriu, șansele ca un eveniment să se producă sunt la fel de probabile.
Prin urmare, putem găsi probabilitatea producerii unui rezultat dat prin împărțirea numărului de evenimente favorabile și a numărului total de rezultate posibile:
Fiind:
p (A): probabilitatea apariției unui eveniment A
la): numărul de cazuri care ne interesează (eveniment A)
n (Ω): numărul total de cazuri posibile
Exemple
1) Dacă aruncăm o matriță perfectă, care este probabilitatea ca un număr mai mic de 3 să se arunce?
Soluţie
Ca moare perfectă, toate cele 6 fețe au șanse egale să cadă cu fața în sus. Deci, să aplicăm formula probabilității.
Pentru aceasta, trebuie să considerăm că avem 6 cazuri posibile (1, 2, 3, 4, 5, 6) și că evenimentul „dintr-un număr mai mic de 3” are 2 posibilități, adică din numărul 1 sau numărul 2. Deci avem:
2) Pachetul de cărți este format din 52 de cărți împărțite în patru costume (inimi, cluburi, diamante și pică) cu 13 cărți din fiecare costum. Astfel, dacă trageți o carte la întâmplare, care este probabilitatea ca o carte să iasă din costumul clubului?
Soluţie
Când tragem o carte la întâmplare, nu putem prezice care va fi această carte. Deci acesta este un experiment aleatoriu.
În acest caz, numărul de cărți corespunde numărului de cazuri posibile și avem 13 cluburi care reprezintă numărul de evenimente favorabile.
Înlocuind aceste valori în formula de probabilitate, avem:
Spațiu de probă
reprezentată de scrisoare Ω, spațiul eșantionului corespunde setului de rezultate posibile obținute dintr-un experiment aleatoriu.
De exemplu, atunci când se ia o carte în mod aleatoriu dintr-un pachet, spațiul eșantionului corespunde celor 52 de cărți care alcătuiesc acest pachet.
La fel, spațiul eșantionului atunci când aruncați o matriță o dată, sunt cele șase fețe care o compun:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 și 6}.
Tipuri de evenimente
Evenimentul este orice subset al spațiului eșantion al unui experiment aleatoriu.
Când un eveniment este exact același cu spațiul său de eșantionare, se numește a eveniment corect. În schimb, atunci când evenimentul este gol, acesta se numește a eveniment imposibil.
Exemplu
Imaginați-vă că avem o cutie cu bile numerotate de la 1 la 20 și că toate bilele sunt roșii.
Evenimentul „desenați o minge roșie” este un eveniment sigur, deoarece toate bilele din cutie sunt de această culoare. Evenimentul „extrage un număr mai mare de 30” este imposibil, deoarece cel mai mare număr din casetă este 20.
Analiza combinatorie
În multe situații, este posibil să descoperiți direct numărul evenimentelor posibile și favorabile într-un experiment aleatoriu.
Cu toate acestea, în unele probleme va trebui să calculați aceste valori. În acest caz, putem folosi formulele de permutare, dispunere și combinare în funcție de situația propusă în întrebare.
Pentru a afla mai multe despre subiect, accesați:
- Analiza combinatorie
- Exerciții de analiză combinatorie
- Principiul fundamental al numărării
- Permutare
Exemplu
(EsPCEx - 2012) Probabilitatea de a obține un număr divizibil cu 2 în alegerea aleatorie a uneia dintre permutațiile cifrelor 1, 2, 3, 4, 5 este
Soluţie
În acest caz, trebuie să aflăm numărul de evenimente posibile, adică câte numere diferite obținem schimbând ordinea celor 5 cifre date (n = 5).
Deoarece, în acest caz, ordinea cifrelor formează numere diferite, vom folosi formula permutării. Prin urmare, avem:
Evenimente posibile:
Prin urmare, cu 5 cifre putem găsi 120 de numere diferite.
Pentru a calcula probabilitatea, trebuie totuși să găsim numărul de evenimente favorabile care, în acest caz, este de a găsi un număr divizibil cu 2, care se va întâmpla când ultima cifră a numărului este 2 sau 4.
Având în vedere că pentru ultima poziție avem doar aceste două posibilități, atunci va trebui să schimbăm celelalte 4 poziții care alcătuiesc numărul, astfel:
Evenimente favorabile:
Probabilitatea va fi găsită făcând:
Citește și tu:
- Triunghiul lui Pascal
- Numere complexe
- Matematica în Enem
Exercițiu rezolvat
1) PUC / RJ - 2013
Dacă a = 2n + 1 cu n ∈ {1, 2, 3, 4}, atunci probabilitatea numărului a fi pereche este
la 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Pe măsură ce substituim fiecare valoare posibilă a lui n în expresia numărului a, observăm că rezultatul va fi întotdeauna un număr impar.
Prin urmare, „a fi un număr par” este un eveniment imposibil. În acest caz, probabilitatea este egală cu zero.
Alternativă: e) 0
2) UPE - 2013
Într-un grup de curs de spaniolă, trei persoane intenționează să facă un program de schimb în Chile și șapte în Spania. Dintre aceste zece persoane, două au fost alese pentru interviul care va extrage burse pentru studii în străinătate. Probabilitatea ca acești doi oameni aleși să aparțină grupului celor care intenționează să facă un schimb în Chile este
În primul rând, să găsim numărul de situații posibile. Deoarece alegerea celor 2 persoane nu depinde de ordine, vom folosi formula de combinație pentru a determina numărul de cazuri posibile, adică:
Deci, există 45 de modalități de a alege 2 persoane dintr-un grup de 10 persoane.
Acum, trebuie să calculăm numărul de evenimente favorabile, adică cele două persoane atrase vor să facă schimbul în Chile. Din nou vom folosi formula de combinație:
Deci, există 3 moduri de a alege 2 persoane din cele 3 care vor să studieze în Chile.
Cu valorile găsite, putem calcula probabilitatea solicitată înlocuind în formula:
Alternativă: b)
Citiți mai multe despre unele subiecte conexe:
- Binomul lui Newton
- Exerciții de probabilitate (ușor)
- Exerciții de probabilitate
- Statistic
- Statistici - Exerciții
- Formule matematice
