Mărimi proporționale: mărimi proporționale direct și invers

Cantitățile proporționale au valorile lor crescute sau scăzute într-o relație care poate fi clasificată ca proporționalitate directă sau inversă.

Ce sunt cantitățile proporționale?

O cantitate este definită ca ceva ce poate fi măsurat sau calculat, indiferent dacă este viteza, aria sau volumul unui material și este util să se compare cu alte măsurători, adesea ale aceleiași unități, reprezentând un motiv.

Proporția este o relație de egalitate între rapoarte și, astfel, prezintă compararea a două cantități în situații diferite.

drept a peste drept b egal cu drept c peste drept d

Egalitatea dintre a, b, c și d se citește după cum urmează: a este la b ca c este la d.

Relația dintre cantități poate apărea într-un mod direct sau invers proporțional.

Cum funcționează cantitățile direct și invers proporționale?

Când variația unei mărimi face ca cealaltă să varieze în aceeași proporție, avem o proporționalitate directă. Proporționalitatea inversă este observată atunci când o schimbare într-o cantitate produce o schimbare opusă în cealaltă.

proporționalitatea directă

instagram story viewer

Două cantități sunt direct proporționale atunci când variația uneia implică variația celeilalte în aceeași proporție, adică prin dublarea uneia dintre ele, și cealaltă se dublează; reducând la jumătate, celălalt se reduce și cu aceeași cantitate... și așa mai departe.

Grafic, variația direct proporțională a unei mărimi în raport cu alta formează o linie dreaptă care trece prin origine, deoarece avem y = k.x, unde k este o constantă.

diagramă de mărime direct proporțională — y grafic proporțional cu x

Exemplu de proporționalitate directă

O imprimantă, de exemplu, are capacitatea de a imprima 10 pagini pe minut. Dacă dublăm timpul, dublăm numărul de pagini tipărite. La fel, dacă oprim imprimanta într-o jumătate de minut, vom obține jumătate din numărul de imprimări așteptate.

Acum, vom vedea cu cifre relația dintre cele două cantități.

Într-o tipografie, se fac imprimate ale cărților școlare. În 2 ore, se fac 40 de tipăriri. În 3 ore, aceeași mașină produce încă 60 de afișări, în 4 ore, 80 de impresii și în 5 ore, 100 de impresii.

Timp (ore)	2	3	4	5
Afișări (număr)	40	60	80	100

Constanta de proporționalitate între cantități se găsește prin raportul dintre timpul de lucru al mașinii și numărul de copii realizate.

rând de masă cu celulă cu 2 peste 40 de capete de celule egale cu celule cu 3 peste 60 de capete de celule egale cu celule cu 4 peste 80 de capete de celula este egală cu sfârșitul rândului tabelului tabelului cu celula cu 5 peste 100 capătul celulei egal cu celula cu 1 peste 20 capătul celulei masa

Se numește coeficientul acestei secvențe (1/20) constantă de proporționalitate (k).

Timpul de lucru (2, 3, 4 și 5) este direct proporțional cu numărul de exemplare (40, 60, 80 și 100), deoarece prin dublarea timpului de lucru se dublează și numărul de exemplare.

proporționalitate inversă

Două cantități sunt invers proporționale atunci când creșterea uneia implică reducerea celeilalte, adică prin dublarea unei cantități, cea corespunzătoare se reduce la jumătate; triplând o magnitudine, cealaltă o reduce la o treime... și așa mai departe.

Grafic, variația invers proporțională a unei mărimi în raport cu alta formează o hiperbolă, deoarece avem y = k / x, unde k este o constantă.

diagramă de mărime invers proporțională — y grafic invers proporțional cu x

Exemplu de proporție inversă

Când viteza crește, timpul de parcurs este mai scurt. La fel, prin scăderea vitezei, va fi nevoie de mai mult timp pentru a face aceeași cale.

Vezi mai jos o aplicație a relației dintre aceste cantități.

João a decis să numere timpul necesar pentru a merge cu bicicleta de acasă la școală la viteze diferite. Rețineți secvența înregistrată.

Timp (min)	2	4	5	1
Viteza (m / s)	30	15	12	60

Putem face următoarea relație cu numerele de ordine:

tabel rând cu celulă cu 2 spații. spațiul 30 capătul celulei este egal cu celula cu 4 spațiu. Sfârșitul de 15 spații al celulei este egal cu celula cu 5 spații. spațiul 12 sfârșitul celulei este egal cu sfârșitul rândului tabelului tabelului cu celula cu 1 spațiu. spațiu 60 capătul celulei este egal cu 60 capătul tabelului

Scriind ca egalitate de motive, avem:

$rândul tabelului cu celula cu numărătorul 2 peste numitor stilul de început arată 1 peste 30 stilul de sfârșit fracție finală sfârșitul celulei este egal cu celula cu numărătorul 4 peste numitor stilul de început arată 1 peste 15 sfârșitul stilului fracție finală sfârșitul celulei este egal cu celula cu numărătorul 5 peste numitor Stilul de început arată 1 peste 12 sfârșitul stilului sfârșit de fracțiunea sfârșitul celulei este egală cu sfârșitul tabelului rândul cu celula cu numărătorul 1 peste numitorul stilul inițial arată 1 peste 60 stilul final sfârșitul fracției sfârșitul celulei sfârșitul masa$

În acest exemplu, secvența de timp (2, 4, 5 și 1) este invers proporțională cu viteza medie de pedalare (30, 15, 12 și 60) și constantă de proporționalitate (k) între aceste cantități este de 60.

Rețineți că atunci când un număr de secvență se dublează, numărul de secvență corespunzător este înjumătățit.

Vezi și tu: Proporționalitate

Exerciții comentate despre cantități direct și invers proporționale

intrebarea 1

Clasificați cantitățile enumerate mai jos în direct sau invers proporțional.

a) Consumul de combustibil și kilometrii parcurși de un vehicul.
b) Numărul de cărămizi și suprafața unui perete.
c) Reducerea acordată pentru un produs și prețul final plătit.
d) Numărul de robinete cu același flux și timp pentru a umple un bazin.

Vezi Răspuns

Răspunsuri corecte:

a) Cantități direct proporționale. Cu cât parcurge un vehicul mai mulți kilometri, cu atât este mai mare consumul de combustibil pentru a finaliza traseul.

b) Cantități direct proporționale. Cu cât suprafața unui perete este mai mare, cu atât este mai mare numărul de cărămizi care vor face parte din acesta.

c) Cantități invers proporționale. Cu cât este mai mare reducerea acordată la achiziționarea unui produs, cu atât este mai mică suma care va fi plătită pentru marfă.

d) Cantități invers proporționale. Dacă bateriile au același debit, eliberează aceeași cantitate de apă. Prin urmare, cu cât se deschid mai multe robinete, cu atât este mai puțin timp să fie eliberată cantitatea de apă necesară pentru a umple piscina.

intrebarea 2

Pedro are în casă o piscină care măsoară 6 m lungime și deține 30.000 de litri de apă. Fratele său Antônio decide, de asemenea, să construiască o piscină cu aceeași lățime și adâncime, dar lungă de 8 m. Câți litri de apă se potrivesc în piscina lui Antônio?

a) 10 000 L
b) 20 000 L
c) 30.000 L
d) 40 000 L

Vezi Răspuns

Răspuns corect: d) 40 000 L.

Grupând cele două cantități date în exemplu, avem:

magnitudini	Petru	Antonio
Lungimea bazinului (m)	6	8
Debitul de apă (L)	30 000	X

In conformitate cu proprietate fundamentală a proporțiilor, în relația dintre cantități, produsul extremelor este egal cu produsul mijloacelor și invers.

rândul de masă cu celula cu dreapta a peste dreapta b capătul celulei egal cu celula cu dreapta c peste drept d capătul celulei săgeata dublă stânga și dreapta celula cu dreapta a. dreapta d capătul celulei este egal cu rândul cu golul gol gol săgeata în jos gol gol capătul tabelului rândul tabelului cu celula cu b dreaptă. dreapta c capătul celulei linie necompletată cu săgeata dreaptă cu celula cârlig cu spațiul produsului din spațiile extreme capătul celulei capătul celulei spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu produs mijloace

Pentru a rezolva această problemă, utilizăm X ca necunoscut, adică a patra valoare care trebuie calculată din cele trei valori date în enunț.

Eroare la conversia de la MathML în text accesibil.

Folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor, calculăm produsul mijloacelor și produsul extremelor pentru a găsi valoarea lui x.

$6 spațiu. spațiul drept x spațiul este egal cu spațiul 8 spațiu. spațiu 30 spațiu 000 spațiu spațiu spațiu 6 drept x spațiu egal cu spațiu spațiu 240 spațiu 000 spațiu spațiu spațiu spațiu drept x spațiu egal cu spațiul numărător 240 spațiu 000 peste numitor 6 sfârșitul fracției spațiu spațiu spațiu spațiu drept x spațiu egal cu spațiu 40 spațiu 000 spațiu drept L spațiu spațial spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu spațiu$

Rețineți că printre cantitățile există proporționalitatea directă: cu cât lungimea bazinului este mai mare, cu atât este mai mare cantitatea de apă pe care o deține.

Vezi și tu: Raport și proporție

întrebarea 3

Într-o cafenea, domnul Alcides prepară suc de căpșuni în fiecare zi. În 10 minute și folosind 4 blender, cafeneaua poate pregăti sucurile pe care clienții le comandă. Pentru a reduce timpul de pregătire, Alcides a dublat numărul de mixere. Cât a durat să fie gata sucurile cu cele 8 blender-uri care funcționează?

a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min

Vezi Răspuns

Răspuns corect: d) 5 min.

Blenderele

(număr)

Timp

(minute)

Rețineți că printre mărimile întrebării există proporționalitate inversă: cu cât mai multe blenderuri produc suc, cu atât va dura mai puțin timp pentru ca toată lumea să fie pregătită.

Prin urmare, pentru a rezolva această problemă, magnitudinea timpului trebuie inversată.