Inegalitatea gradelor 1 și 2: modul de rezolvare și exerciții

Inecuția este o propoziție matematică care are cel puțin o valoare necunoscută (necunoscută) și reprezintă o inegalitate.

În inegalități folosim simbolurile:

• > mai mare decât
• ≥ mai mare sau egal
• ≤ mai mic sau egal

Exemple

a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Inegalitatea gradului I

O inegalitate este de gradul 1 când cel mai mare exponent al necunoscutului este egal cu 1. Ele pot lua următoarele forme:

• ax + b> 0
• topor + b
• ax + b ≥ 0
• ax + b ≤ 0

Fiind și B numere reale și ≠ 0

Rezolvarea unei inegalități de gradul I.

Pentru a rezolva o astfel de inegalitate, o putem face la fel ca în ecuații.

Cu toate acestea, trebuie să fim atenți atunci când necunoscutul devine negativ.

În acest caz, trebuie să înmulțim cu (-1) și să inversăm simbolul inegalității.

Exemple

a) Rezolvați inegalitatea 3x + 19

Pentru a rezolva inegalitatea trebuie să izolăm x, trecând 19 și 3 pe cealaltă parte a inegalității.

Amintindu-ne că atunci când schimbăm părțile trebuie să schimbăm operația. Astfel, cele 19 care au fost adăugate vor trece scăzând și cele 3 care s-au înmulțit vor trece împărțind.

3xxx

b) Cum se rezolvă inegalitatea 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Când există termeni algebrici (x) pe ambele părți ale inegalității, trebuie să le unim pe aceeași parte.
Făcând acest lucru, numerele care schimbă părțile își schimbă semnul.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45

Acum, să înmulțim întreaga inegalitate cu (-1). Pentru a face acest lucru, schimbăm semnul tuturor termenilor:

9x ≤ 45 (rețineți că inversăm simbolul ≥ la ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Prin urmare, soluția la această inegalitate este x ≤ 5.

Rezoluție utilizând graficul inegalității

O altă modalitate de a rezolva o inegalitate este să o graficăm pe plan cartezian.

În grafic, studiem semnul inegalității prin identificarea valorilor X transformă inegalitatea într-o propoziție adevărată.

Pentru a rezolva o inegalitate folosind această metodă, trebuie să urmăm pașii:

1) Puneți toți termenii inegalității pe aceeași parte.
2º) Înlocuiți semnul inegalității cu cel al egalității.
3) Rezolvați ecuația, adică găsiți rădăcina ei.
4) Studiați semnul ecuației, identificând valorile lui X care reprezintă soluția inegalității.

Exemplu

Rezolvați inegalitatea 3x + 19

În primul rând, să scriem inegalitatea cu toți termenii de pe o parte a inegalității:

3x + 19 - 40 3x - 21

Această expresie indică faptul că soluția inegalității este valorile lui x care fac inegalitatea negativă (

Găsiți rădăcina ecuației 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (rădăcina ecuației)

Reprezentați în plan cartezian perechile de puncte găsite atunci când înlocuiți valori în X în ecuație. Graficul acestui tip de ecuație este a Drept.

Am identificat că valorile

Inegalitatea de gradul II

O inegalitate este de gradul 2 când cel mai mare exponent al necunoscutului este egal cu 2. Ele pot lua următoarele forme:

• topor² + bx + c> 0
• topor² + bx + c
• topor² + bx + c ≥ 0
• topor² + bx + c ≤ 0

Fiind , B și ç numere reale și ≠ 0

Putem rezolva acest tip de inegalitate folosind graficul care reprezintă ecuația de gradul 2 pentru a studia semnul, la fel cum am făcut pentru inegalitatea de gradul 1.

Amintindu-ne că, în acest caz, graficul va fi un parabolă.

Exemplu

Rezolvați inegalitatea x² - 4x - 4

Pentru a rezolva o inegalitate de gradul doi, este necesar să se găsească valori a căror expresie în partea stângă a semnului

Mai întâi, identificați coeficienții:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Noi folosim formula bhaskara (Δ = b² - 4ac) și înlocuim valorile coeficienților:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Continuând cu formula lui Bhaskara, am înlocuit din nou cu valorile coeficienților noștri:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

X₁ = (1 + 5)/ 2
X₁ = 6 / 2
X₁ = 3

X₂ = (1 - 5) / 2
X₁ = - 4 / 2
X₁ = - 2

Rădăcinile ecuației sunt -2 și 3. dupa cum al ecuației de gradul 2 este pozitiv, graficul său va avea concavitatea cu fața în sus.

Din grafic, observăm că valorile care satisfac inegalitatea sunt: ​​- 2

Putem indica soluția folosind următoarea notație:

Citește și:

• Ecuația gradului I
• Ecuația de gradul II
• Sisteme de ecuații

Exerciții

1. (FUVEST 2008) Prin recomandare medicală, o persoană trebuie, pentru o perioadă scurtă, să urmeze o dietă care să garanteze un minim zilnic de 7 miligrame de vitamina A și 60 micrograme de vitamina D, hrănindu-se exclusiv cu un iaurt special și un amestec de cereale, găzduit în pachete.

Fiecare litru de iaurt oferă 1 miligram de vitamina A și 20 micrograme de vitamina D. Fiecare pachet de cereale oferă 3 miligrame de vitamină A și 15 micrograme de vitamină D.

Prin consumul zilnic de litri de iaurt și pachete de cereale, persoana va fi sigură că urmează dieta dacă:

a) x + 3y ≥ 7 și 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 și 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 și 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 și 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 și 3x + 20y ≥ 60

Vezi Răspuns

Alternativă la: x + 3y ≥ 7 și 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Un oraș este deservit de două companii de telefonie. Compania X percepe un abonament lunar de R $ 35,00 plus R $ 0,50 pe minut utilizat. Compania Y percepe, lunar, un abonament de R $ 26,00 plus R $ 0,50 pe minut utilizat. După câte minute de utilizare planul companiei X va fi mai benefic pentru clienți decât planul companiei Y?

Vezi Răspuns

26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60

După 60 de minute, planul companiei X este mai avantajos.