THE asemănarea triunghiului este folosit pentru a găsi măsura necunoscută a unui triunghi cunoscând măsurile unui alt triunghi.
Când două triunghiuri sunt similare, măsurătorile laturilor lor corespunzătoare sunt proporționale. Această relație este utilizată pentru a rezolva multe probleme de geometrie.
Așadar, profitați de exercițiile comentate și rezolvate pentru a vă rezolva toate îndoielile.
Probleme rezolvate
1) Ucenicul marinar - 2017
Vezi figura de mai jos
O clădire aruncă o umbră lungă de 30 m pe sol în același moment în care o persoană înaltă de 6 m aruncă o umbră de 2,0 m. Se poate spune că înălțimea clădirii merită
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Putem considera că clădirea, umbra proiectată și raza soarelui formează un triunghi. La fel, avem și un triunghi format din persoană, umbra sa și raza soarelui.
Având în vedere că razele soarelui sunt paralele și că unghiul dintre clădire și sol și persoană este solul este egal cu 90º, triunghiurile, indicate în figura de mai jos, sunt similare (două unghiuri este egal).
Deoarece triunghiurile sunt similare, putem scrie următoarea proporție:
Alternativă: a) 27 m
2) Fuvest - 2017
În figură, dreptunghiul ABCD are laturi de lungime AB = 4 și BC = 2. Fie M punctul de mijloc al laturii iar N punctul mediu al laturii
. Segmentele
intercepta segmentul
la punctele E și, respectiv, F.
Aria triunghiului AEF este egală cu
Aria triunghiului AEF poate fi găsită prin scăderea ariei triunghiului ABE din aria triunghiului AFB, după cum se arată mai jos:
Să începem prin a găsi aria triunghiului AFB. Pentru aceasta, trebuie să aflăm valoarea înălțimii acestui triunghi, deoarece se cunoaște valoarea de bază (AB = 4).
Rețineți că triunghiurile AFB și CFN sunt similare prin faptul că au două unghiuri egale (cazul AA), așa cum se arată în figura de mai jos:
Să trasăm înălțimea H1, relativ la latura AB, în triunghiul AFB. Deoarece măsura laturii CB este egală cu 2, putem considera că înălțimea relativă a laturii NC în triunghiul FNC este egală cu 2 - H1.
Apoi putem scrie următoarea proporție:
Cunoscând înălțimea triunghiului, putem calcula aria acestuia:
Pentru a găsi aria triunghiului ABE, va trebui, de asemenea, să calculați valoarea înălțimii sale. Pentru aceasta, vom folosi faptul că triunghiurile ABM și AOE, indicate în figura de mai jos, sunt similare.
Mai mult, triunghiul OEB este un triunghi dreptunghi și celelalte două unghiuri sunt egale (45 °), deci este un triunghi isoscel. Astfel, cele două picioare ale acestui triunghi valorează H2, ca imaginea de mai jos:
Astfel, latura AO a triunghiului AOE este egală cu 4 - H2. Pe baza acestor informații, putem indica următoarea proporție:
Cunoscând valoarea înălțimii, putem calcula acum aria triunghiului ABE:
Astfel, aria triunghiului AFE va fi egală cu:
Alternativă: d)
3) Cefet / MG - 2015
Următoarea ilustrație reprezintă o masă de biliard dreptunghiulară, cu lățimea și lungimea egale cu 1,5 și respectiv 2,0 m. Un jucător trebuie să arunce mingea albă din punctul B și să lovească mingea neagră în punctul P, fără să lovească pe alta, mai întâi. Deoarece cea galbenă se află în punctul A, acest jucător va arunca bila albă în punctul L, astfel încât să poată sări și să se ciocnească cu cea neagră.
Dacă unghiul căii de incidență a mingii pe partea laterală a mesei și unghiul de săritură sunt egale, așa cum se arată în figură, atunci distanța de la P la Q, în cm, este aproximativ
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Triunghiurile, marcate cu roșu în imaginea de mai jos, sunt similare, deoarece au două unghiuri egale (unghi egal cu α și unghi egal cu 90º).
Prin urmare, putem scrie următoarea proporție:
Alternativă: a) 67
4) Colegiul Militar / RJ - 2015
Într-un triunghi ABC, punctele D și E aparțin laturilor AB și AC și sunt astfel încât DE / / BC. Dacă F este un punct al AB astfel încât EF / / CD și măsurătorile AF și FD e sunt, respectiv, 4 și 6, măsurarea segmentului DB este:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Putem reprezenta triunghiul ABC, așa cum se arată mai jos:
Deoarece segmentul DE este paralel cu BC, atunci triunghiurile ADE și ABC sunt similare prin faptul că unghiurile lor sunt congruente.
Apoi putem scrie următoarea proporție:
Triunghiurile FED și DBC sunt, de asemenea, similare, deoarece segmentele FE și DC sunt paralele. Astfel, este adevărată și următoarea proporție:
Izolând y în această proporție, avem:
Înlocuirea valorii y în prima egalitate:
Alternativă: a) 15
5) Epcar - 2016
Un teren în formă de triunghi dreptunghiular va fi împărțit în două loturi de un gard realizat pe bisectoarea hipotenuzei, așa cum se arată în figură.
Se știe că laturile AB și BC ale acestui teren măsoară, respectiv, 80 m și 100 m. Astfel, raportul dintre perimetrul lotului I și perimetrul lotului II, în această ordine, este
Pentru a afla raportul dintre perimetre, trebuie să cunoaștem valoarea tuturor laturilor din figura I și figura II.
Rețineți că bisectoarea hipotenuzei împarte latura BC în două segmente congruente, deci segmentele CM și MB măsoară 50 m.
Deoarece triunghiul ABC este un dreptunghi, putem calcula latura AC, folosind teorema lui Pitagora. Cu toate acestea, rețineți că acest triunghi este un triunghi pitagoric.
Astfel, hipotenuza fiind egală cu 100 (5. 20) și una cu două picioare egală cu 80 (4,20), atunci cealaltă picior poate fi egală cu 60 (3,20).
De asemenea, am identificat că triunghiurile ABC și MBP sunt similare (cazul AA), deoarece au un unghi comun și celălalt egal cu 90º.
Deci, pentru a găsi valoarea lui x putem scrie următoarea proporție:
Valoarea lui z poate fi găsită având în vedere proporția:
De asemenea, putem găsi valoarea lui y făcând:
Acum, că cunoaștem toate laturile, putem calcula perimetrele.
Perimetrul figurii I:
Perimetrul figurii II:
Prin urmare, raportul dintre perimetre va fi egal cu:
Alternativă: d)
6) Enem - 2013
Proprietarul unei ferme dorește să pună o tijă de sprijin pentru a asigura mai bine două stâlpi cu lungimi egale cu 6 m și 4 m. Figura reprezintă situația reală în care stâlpii sunt descriși de segmentele AC și BD și tija este reprezentat de segmentul EF, perpendicular pe sol, care este indicat de segmentul de linie dreaptă AB. Segmentele AD și BC reprezintă cabluri de oțel care vor fi instalate.
Care ar trebui să fie valoarea lungimii tijei EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m
Pentru a rezolva problema, să numim înălțimea tijei ca z și măsurătorile segmentelor AF și FB ale X și y, respectiv, așa cum se arată mai jos:
Triunghiul ADB este similar triunghiului AEF prin faptul că ambele au un unghi egal cu 90 ° și un unghi comun, deci sunt similare în cazul AA.
Prin urmare, putem scrie următoarea proporție:
Înmulțind „într-o cruce”, obținem egalitatea:
6x = h (x + y) (I)
Pe de altă parte, triunghiurile ACB și FEB vor fi, de asemenea, similare, din aceleași motive prezentate mai sus. Deci avem proporția:
Rezolvând în același mod:
4y = h (x + y) (II)
Rețineți că ecuațiile (I) și (II) au aceeași expresie după semnul egal, deci putem spune că:
6x = 4y
Înlocuind valoarea lui x în a doua ecuație:
Alternativă: c) 2,4 m
7) Fuvest - 2010
În figură, triunghiul ABC este dreptunghiular cu laturile BC = 3 și AB = 4. În plus, punctul D aparține claviculei. , punctul E aparținând claviculei
iar punctul F aparține ipotenuzei
, astfel încât DECF este un paralelogram. dacă
, deci merită zona paralelogramului DECF
Zona paralelogramului se găsește înmulțind valoarea de bază cu înălțimea. Să numim h înălțimea și x măsura de bază, așa cum se arată mai jos:
Deoarece DECF este un paralelogram, laturile sale sunt paralele două câte două. În acest fel, laturile AC și DE sunt paralele. Deci unghiurile sunt la fel.
Putem identifica apoi că triunghiurile ABC și DBE sunt similare (cazul AA). Avem, de asemenea, că ipotenuza triunghiului ABC este egală cu 5 (triunghiul 3,4 și 5).
Astfel, să scriem următoarea proporție:
Pentru a găsi măsura x a bazei, vom lua în considerare următoarea proporție:
Calculând aria paralelogramului, avem:
Alternativă: a)
