Asemănarea triunghiurilor: exerciții comentate și rezolvate

THE asemănarea triunghiului este folosit pentru a găsi măsura necunoscută a unui triunghi cunoscând măsurile unui alt triunghi.

Când două triunghiuri sunt similare, măsurătorile laturilor lor corespunzătoare sunt proporționale. Această relație este utilizată pentru a rezolva multe probleme de geometrie.

Așadar, profitați de exercițiile comentate și rezolvate pentru a vă rezolva toate îndoielile.

Probleme rezolvate

1) Ucenicul marinar - 2017

Vezi figura de mai jos

Întrebarea ucenicului marinarului 2017 Asemănarea triunghiurilor

O clădire aruncă o umbră lungă de 30 m pe sol în același moment în care o persoană înaltă de 6 m aruncă o umbră de 2,0 m. Se poate spune că înălțimea clădirii merită

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Putem considera că clădirea, umbra proiectată și raza soarelui formează un triunghi. La fel, avem și un triunghi format din persoană, umbra sa și raza soarelui.

Având în vedere că razele soarelui sunt paralele și că unghiul dintre clădire și sol și persoană este solul este egal cu 90º, triunghiurile, indicate în figura de mai jos, sunt similare (două unghiuri este egal).

Întrebarea ucenicului marinarului 2017 Asemănarea triunghiurilor

Deoarece triunghiurile sunt similare, putem scrie următoarea proporție:

H peste 30 este egal cu numărătorul 1 virgulă 8 peste numitorul 2 sfârșitul fracției 2 H este egal cu 1 virgulă 8,30 H este egal cu 54 peste 2 este egal cu 27 de spațiu m

Alternativă: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

În figură, dreptunghiul ABCD are laturi de lungime AB = 4 și BC = 2. Fie M punctul de mijloc al laturii B C în cadrul superior închide cadrul iar N punctul mediu al laturii C D în cadrul superior închide cadrul. Segmentele A M în cadrul superior închide spațiul cadrului și spațiul A C în cadrul superior închide cadrul intercepta segmentul B N în cadrul superior închide cadrul la punctele E și, respectiv, F.

Cel mai popular 2017 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Aria triunghiului AEF este egală cu

un spațiu paranteză dreaptă 24 peste 25 b spațiu paranteză dreaptă 29 peste 30 c spațiu paranteză dreaptă 61 peste 60 d spațiu paranteză dreaptă 16 peste 15 și spațiu paranteză dreaptă 23 peste 20

Aria triunghiului AEF poate fi găsită prin scăderea ariei triunghiului ABE din aria triunghiului AFB, după cum se arată mai jos:

Cel mai popular 2017 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Să începem prin a găsi aria triunghiului AFB. Pentru aceasta, trebuie să aflăm valoarea înălțimii acestui triunghi, deoarece se cunoaște valoarea de bază (AB = 4).

Rețineți că triunghiurile AFB și CFN sunt similare prin faptul că au două unghiuri egale (cazul AA), așa cum se arată în figura de mai jos:

Cel mai popular 2017 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Să trasăm înălțimea H1, relativ la latura AB, în triunghiul AFB. Deoarece măsura laturii CB este egală cu 2, putem considera că înălțimea relativă a laturii NC în triunghiul FNC este egală cu 2 - H1.

Cel mai popular 2017 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Apoi putem scrie următoarea proporție:

4 peste 2 este egal cu numărătorul H cu 1 indiciu peste numitor 2 minus H cu 1 indiciu sfârșitul fracției 2 spațiu paranteză stânga 2 minus H cu 1 indice paranteză dreaptă egală cu H cu 1 indice 4 spațiu minus spațiu 2 H cu 1 indice egal cu H cu 1 indice 3 H cu 1 indice egal cu 4 H cu 1 indice egal cu 4 peste 3

Cunoscând înălțimea triunghiului, putem calcula aria acestuia:

A cu increment A A B B indicele final al indicelui egal cu numeratorul b. h peste numitorul 2 sfârșitul fracției A cu creșterea A F B sfârșitul indicelui egal al numărătorului 4. începe stilul arată 4 peste 3 sfârșitul stilului peste numitorul 2 sfârșitul fracției A cu creșterea A F B sfârșitul subscriptului subscriptului egal cu 16 peste 3,1 jumătate A cu creșterea A F B sfârșitul subscriptului subscriptului egal cu 8 aproximativ 3

Pentru a găsi aria triunghiului ABE, va trebui, de asemenea, să calculați valoarea înălțimii sale. Pentru aceasta, vom folosi faptul că triunghiurile ABM și AOE, indicate în figura de mai jos, sunt similare.

Cel mai popular 2017 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Mai mult, triunghiul OEB este un triunghi dreptunghi și celelalte două unghiuri sunt egale (45 °), deci este un triunghi isoscel. Astfel, cele două picioare ale acestui triunghi valorează H2, ca imaginea de mai jos:

Cel mai popular 2017 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Astfel, latura AO a triunghiului AOE este egală cu 4 - H2. Pe baza acestor informații, putem indica următoarea proporție:

numărătorul 4 peste numitorul 4 minus H cu 2 indicele final al fracției egal cu 1 peste H cu 2 indicele 4 H cu 2 indice egal cu 4 minus H cu 2 indice egal cu 5 H cu 2 indice egal cu 4 H cu 2 indice egal cu 4 aproximativ 5

Cunoscând valoarea înălțimii, putem calcula acum aria triunghiului ABE:

A cu increment A B E sfârșitul indicelui egal al numărătorului 4. începe stilul arată 4 peste 5 sfârșitul stilului peste numitorul 2 sfârșitul fracției A cu creșterea A B E sfârșitul subscriptului subscriptului egal cu 16 peste 5.1 jumătate A cu creșterea A B E sfârșitul subscriptului subscriptului egal cu 8 aproximativ 5

Astfel, aria triunghiului AFE va fi egală cu:

A cu increment A F E sfârșitul indicelui egal cu A cu increment A F B sfârșitul indicelui minus A cu increment A B E sfârșitul indicelui A cu increment A F E sfârșitul subscriptului subscriptului egal cu 8 peste 3 minus 8 peste 5 A cu creștere A F E sfârșitul subscriptului subscriptului egal cu numărătorul 40 minus 24 peste numitorul 15 sfârșitul fracției egal cu 16 aproximativ 15

Alternativă: d) 16 peste 15

3) Cefet / MG - 2015

Următoarea ilustrație reprezintă o masă de biliard dreptunghiulară, cu lățimea și lungimea egale cu 1,5 și respectiv 2,0 m. Un jucător trebuie să arunce mingea albă din punctul B și să lovească mingea neagră în punctul P, fără să lovească pe alta, mai întâi. Deoarece cea galbenă se află în punctul A, acest jucător va arunca bila albă în punctul L, astfel încât să poată sări și să se ciocnească cu cea neagră.

Întrebare Cefet-mg 2015 similaritatea triunghiurilor

Dacă unghiul căii de incidență a mingii pe partea laterală a mesei și unghiul de săritură sunt egale, așa cum se arată în figură, atunci distanța de la P la Q, în cm, este aproximativ

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Triunghiurile, marcate cu roșu în imaginea de mai jos, sunt similare, deoarece au două unghiuri egale (unghi egal cu α și unghi egal cu 90º).

Cefet-MG 2015 pune la îndoială asemănarea triunghiurilor

Prin urmare, putem scrie următoarea proporție:

numărător x peste numitor 0 virgulă 8 sfârșitul fracției este egal cu numărătorul 1 peste numitor 1 virgulă 2 sfârșitul fracției 1 virgulă 2 x este egală cu 1,0 virgulă 8 x este egală cu numărătorul 0 virgulă 8 peste numitorul 1 virgulă 2 sfârșitul fracției este egal cu 0 virgulă 66... x aproximativ egală cu 0 virgulă 67 m spațiu sau u spațiu 67 spațiu c m

Alternativă: a) 67

4) Colegiul Militar / RJ - 2015

Într-un triunghi ABC, punctele D și E aparțin laturilor AB și AC și sunt astfel încât DE / / BC. Dacă F este un punct al AB astfel încât EF / / CD și măsurătorile AF și FD e sunt, respectiv, 4 și 6, măsurarea segmentului DB este:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Putem reprezenta triunghiul ABC, așa cum se arată mai jos:

Întrebarea Colegiului Militar 2015 similaritatea triunghiurilor

Deoarece segmentul DE este paralel cu BC, atunci triunghiurile ADE și ABC sunt similare prin faptul că unghiurile lor sunt congruente.

Apoi putem scrie următoarea proporție:

numărătorul 10 peste numitorul 10 plus x sfârșitul fracției este egal cu y peste z

Triunghiurile FED și DBC sunt, de asemenea, similare, deoarece segmentele FE și DC sunt paralele. Astfel, este adevărată și următoarea proporție:

6 peste y este egal cu x peste z

Izolând y în această proporție, avem:

y este egal cu numărătorul 6 z peste numitorul x sfârșitul fracției

Înlocuirea valorii y în prima egalitate:

numărătorul 10 peste numitorul 10 plus x sfârșitul fracției este egal cu stilul de început al numărătorului arată numărătorul 6 z peste numitorul x sfârșitul fracția sfârșitul stilului peste numitor z sfârșitul fracției numărător 10 peste numitor 10 plus x sfârșitul fracției este egal numărător 6 z peste numitor x sfârșitul fracției.1 peste z 10 x egal cu 60 plus 6 x 10 x minus 6 x egal cu 60 4 x egal cu 60 x egal cu 60 peste 4 x egal cu 15 spațiu cm

Alternativă: a) 15

5) Epcar - 2016

Un teren în formă de triunghi dreptunghiular va fi împărțit în două loturi de un gard realizat pe bisectoarea hipotenuzei, așa cum se arată în figură.

Întrebați similitudinea triunghiurilor Epcar 2016

Se știe că laturile AB și BC ale acestui teren măsoară, respectiv, 80 m și 100 m. Astfel, raportul dintre perimetrul lotului I și perimetrul lotului II, în această ordine, este

paranteză dreaptă 5 peste 3 b paranteză dreaptă 10 peste 11 c paranteză dreaptă 3 peste 5 d paranteză dreaptă 11 peste 10

Pentru a afla raportul dintre perimetre, trebuie să cunoaștem valoarea tuturor laturilor din figura I și figura II.

Rețineți că bisectoarea hipotenuzei împarte latura BC în două segmente congruente, deci segmentele CM și MB măsoară 50 m.

Deoarece triunghiul ABC este un dreptunghi, putem calcula latura AC, folosind teorema lui Pitagora. Cu toate acestea, rețineți că acest triunghi este un triunghi pitagoric.

Astfel, hipotenuza fiind egală cu 100 (5. 20) și una cu două picioare egală cu 80 (4,20), atunci cealaltă picior poate fi egală cu 60 (3,20).

De asemenea, am identificat că triunghiurile ABC și MBP sunt similare (cazul AA), deoarece au un unghi comun și celălalt egal cu 90º.

Deci, pentru a găsi valoarea lui x putem scrie următoarea proporție:

100 peste 80 egal cu x peste 50 x egal cu 5000 peste 80 x egal cu 250 peste 4 egal cu 125 peste 2

Valoarea lui z poate fi găsită având în vedere proporția:

60 peste z este egal cu 100 peste x 60 peste z este egal cu numărătorul 100 peste numitor începutul stilului arată 125 peste 2 capătul stilului fracție finală 60 peste z egal cu 100,2 peste 125 z egal cu numărător 60,125 peste numitor 100,2 sfârșitul fracției z egal cu 7500 peste 200 z egal cu 75 peste 2

De asemenea, putem găsi valoarea lui y făcând:

y este egal cu 80 minus x y este egal cu 80 minus 125 peste 2 y este egal cu numărătorul 160 minus 125 peste numitor 2 sfârșitul fracției y este egal cu 35 peste 2

Acum, că cunoaștem toate laturile, putem calcula perimetrele.

Perimetrul figurii I:

60 plus 50 plus 75 peste 2 plus 35 peste 2 egal cu numărătorul 120 plus 100 plus 75 plus 35 peste numitor 2 sfârșitul fracției egal cu 330 peste 2 egal cu 165

Perimetrul figurii II:

50 plus 75 peste 2 plus 125 peste 2 egal cu numărătorul 100 plus 75 plus 125 peste numitor 2 sfârșitul fracției egal cu 300 peste 2 egal cu 150

Prin urmare, raportul dintre perimetre va fi egal cu:

P cu I index peste P cu I I subscript sfârșitul subscriptului egal cu 165 peste 150 egal cu 11 peste 10

Alternativă: d)11 peste 10

6) Enem - 2013

Proprietarul unei ferme dorește să pună o tijă de sprijin pentru a asigura mai bine două stâlpi cu lungimi egale cu 6 m și 4 m. Figura reprezintă situația reală în care stâlpii sunt descriși de segmentele AC și BD și tija este reprezentat de segmentul EF, perpendicular pe sol, care este indicat de segmentul de linie dreaptă AB. Segmentele AD și BC reprezintă cabluri de oțel care vor fi instalate.

Întrebare Enem 2013 similaritatea triunghiurilor

Care ar trebui să fie valoarea lungimii tijei EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 rădăcină pătrată de 6 m

Pentru a rezolva problema, să numim înălțimea tijei ca z și măsurătorile segmentelor AF și FB ale X și y, respectiv, așa cum se arată mai jos:

Întrebare Enem 2013 similaritatea triunghiurilor

Triunghiul ADB este similar triunghiului AEF prin faptul că ambele au un unghi egal cu 90 ° și un unghi comun, deci sunt similare în cazul AA.

Prin urmare, putem scrie următoarea proporție:

numărătorul 6 peste numitorul x plus y sfârșitul fracției este egal cu h peste x

Înmulțind „într-o cruce”, obținem egalitatea:

6x = h (x + y) (I)

Pe de altă parte, triunghiurile ACB și FEB vor fi, de asemenea, similare, din aceleași motive prezentate mai sus. Deci avem proporția:

numărătorul 4 peste numitorul x plus y sfârșitul fracției egale cu h peste y

Rezolvând în același mod:

4y = h (x + y) (II)

Rețineți că ecuațiile (I) și (II) au aceeași expresie după semnul egal, deci putem spune că:

6x = 4y
x este egal cu 4 peste 6 y S i m p l i fi c a și spațiu virgul t e m o s puncte x este egal cu 2 peste 3 y

Înlocuind valoarea lui x în a doua ecuație:

4 y este egal cu h paranteză stângă 2 peste 3 y plus y paranteză dreaptă 4 y este egal cu h paranteză stângă 5 peste 3 h paranteză dreaptă h este egal cu numărător 4.3 diagonală sus pe y spațiu sfârșitul strioutului peste numitor 5 diagonală striout sus pe spațiu y sfârșitul strioutului sfârșitul fracției h egal 12 peste 5 egal 2 virgulă m spațiu

Alternativă: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

În figură, triunghiul ABC este dreptunghiular cu laturile BC = 3 și AB = 4. În plus, punctul D aparține claviculei. A B în cadrul superior închide cadrul, punctul E aparținând claviculei B C în cadrul superior închide cadrul iar punctul F aparține ipotenuzei Un C în cadrul superior închide cadrul, astfel încât DECF este un paralelogram. dacă D E egal cu 3 peste 2, deci merită zona paralelogramului DECF

Cea mai populară întrebare asemănătoare triunghiurilor din 2010
paranteză dreaptă 63 peste 25 b paranteză dreaptă 12 peste 5 c paranteză dreaptă 58 peste 25 d paranteză dreaptă 56 peste 25 și paranteză dreaptă 11 peste 5

Zona paralelogramului se găsește înmulțind valoarea de bază cu înălțimea. Să numim h înălțimea și x măsura de bază, așa cum se arată mai jos:

Cea mai populară întrebare asemănătoare triunghiurilor din 2010

Deoarece DECF este un paralelogram, laturile sale sunt paralele două câte două. În acest fel, laturile AC și DE sunt paralele. Deci unghiurile A C cu conjuncție logică supercript B și spațiu D E cu conjuncție logică supercript B sunt la fel.

Putem identifica apoi că triunghiurile ABC și DBE sunt similare (cazul AA). Avem, de asemenea, că ipotenuza triunghiului ABC este egală cu 5 (triunghiul 3,4 și 5).

Astfel, să scriem următoarea proporție:

4 peste h este egal cu numărătorul 5 peste numitor începutul stilului arată 3 peste 2 sfârșitul stilului fracția finală 5 h este egal cu 4,3 peste 2 ore este egal cu 6 peste 5

Pentru a găsi măsura x a bazei, vom lua în considerare următoarea proporție:

numărătorul 3 peste numitor 3 minus x sfârșitul fracției este egal cu numărătorul 4 peste numitor începutul stilului arată 6 peste 5 stilul final sfârșitul fracției 4 paranteză stângă 3 minus x paranteză dreaptă egală cu 3,6 peste 5 3 minus x egal cu numărător 3,6 peste numitor 4,5 sfârșitul fracției 3 minus x egal cu 18 peste 20 x egal cu spațiul 3 minus 18 peste 20 x egal cu numărătorul 60 minus 18 peste numitor 20 sfârșitul fracției x egal cu 42 peste 20 egal cu 21 peste 10

Calculând aria paralelogramului, avem:

A este egal cu 21 peste 10,6 peste 5 este egal cu 63 peste 25

Alternativă: a)63 peste 25

Legile lui Newton: exerciții comentate și rezolvate

Legile lui Newton: exerciții comentate și rezolvate

La Legile lui Newton cuprinde trei legi ale mecanicii clasice: legea inerției, legea fundamentală...

read more

30 de exerciții de acord nominal (comentat)

Aveți îndoieli în acord nominal sau doriți să testați dacă știți deja totul despre subiect? Deci,...

read more

25 de exerciții de rugăciune substantive subordonate (cu șablon)

La propoziții subordonate substantive sunt tipuri de clauze care joacă rolul substantivelor.În fu...

read more