O triunghi echilateral este o figură geometrică plană a cărei caracteristică principală este trei laturi congruente, adică măsurarea acestor trei laturi este aceeași.
Acest fapt generează o consecință imediată, cele trei unghiuri Internele acestui triunghi sunt, de asemenea, egale între ele. De asemenea, aceasta triunghi are proprietăți geometrice importante care facilitează rezolvarea anumitor situații problematice.
Citește și tu: Care este condiția existenței unui triunghi?
Proprietățile triunghiurilor echilaterale
Triunghiul echilateral are unele proprietăți care facilitează rezolvarea unor situații problematice.
Proprietatea 1 - Toate unghiurile interne ale unui triunghi echilateral măsoară 60 °.
Proprietatea 2 - Înălțimea (segmentul perpendicular pe una dintre laturi), mediana (segmentul care împarte o parte în jumătate) și bisectoarea (segmentul care împarte un unghi în jumătate) coincid.
Perimetrul triunghiului echilateral
Știm că perimetrul unui poligon oricare este dat de suma măsurătorilor din toate părțile, iar în triunghiul echilateral ideea nu diferă. Deoarece triunghiul echilateral are toate laturile egale, putem găsi o formulă care să faciliteze calcularea perimetrului.
Se consideră un triunghi echilateral al laturii l:
Deoarece perimetrul este dat de suma tuturor laturilor, atunci:
2P = l + l + l
2P = 3 · l
Amintiți-vă: notația perimetrală este 2P. Folosim litera P pentru a reprezenta semiperimetrul. Formula afirmă că pentru a calcula perimetrul unui triunghi echilateral doar înmulțiți măsurarea laterală cu 3.
- Exemplu
Determinați perimetrul triunghiului echilateral a cărui latură este de 4 cm.
Înlocuind valoarea laturii din formula dedusă, avem:
2P = 3 · l
2P = 3 · 4
2P = 12 cm
Deci perimetrul este de 12 centimetri.
Citește și: Asemănarea triunghiurilor: care sunt cazurile?
aria triunghiului echilateral
Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, reprezentăm inițial înălțimea față de una dintre laturile sale. Din proprietăți știm că înălțimea coincide cu mediana, adică atunci când se trasează înălțimea, latura este împărțită în jumătate.
Știm că aria oricărui triunghi este dată de multiplicarea bazei cu înălțimea și cea împărțită la 2.
Rețineți că valoarea de bază este cunoscută în cazul 1, totuși valoarea înălțimii este necunoscută. Astfel, pentru a determina aria triunghiului echilateral, este mai întâi necesar să-i găsim înălțimea. Pentru aceasta, vom folosi teorema lui Pitagora:
Deoarece acum cunoaștem măsurarea înălțimii, o putem înlocui în formula pentru aria unui triunghi.
Exemplu
Determinați aria triunghiului echilateral a cărui latură măsoară 4 cm.
Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, pur și simplu înlocuiți măsura laturii din formulă, știind că în formula l reprezintă acea măsură. Deci avem:
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Un fermier a trebuit să construiască un stilou, astfel încât ferma sa de pui să nu fugă. Când a făcut proiectul, a observat că incinta ar fi sub forma unui triunghi echilateral cu o lungime de 3 metri pe o parte. Câți metri de gard va trebui să cumpere acest fermier? Știind că fiecare metru costă 4 reali și 50 de cenți, cât va cheltui?
Rezoluţie
Terenul fermierului poate fi reprezentat de:
Perimetrul este dat de:
2P = 3 · 3
2P = 9m
Deoarece fiecare contor costă 4,50 reai, fermierul va cheltui de 9 ori această sumă:
cheltuit = 4,5 · 9
cheltuit = 40,5
Prin urmare, fermierul va cheltui 40 de reali și 50 de cenți.
intrebarea 2 - O companie de țiglă trebuie să acopere fundul unui bazin cu dale de 1 m2. Piscina are forma unui triunghi echilateral de 6 metri. Determinați cantitatea de plăci care trebuie utilizate.
(Date: Utilizați √3 = 1.7)
Rezoluţie
Am stabilit inițial zona piscinei.
Deoarece fiecare țiglă are 1 m2, atunci vor trebui achiziționate 16 plăci, deoarece 0,3 plăci nu sunt vândute.
